Русская Википедия:Кольцо многочленов

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

Многочлены от одной переменной над полем

Многочлены

Многочлен от x с коэффициентами в поле k — это выражение вида

<math>p = p_m x^m + p_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + p_1 x + p_0,</math>

где p₀, …, p_m — элементы k, коэффициенты p, а x, x ², … — формальные символы («степени x»). Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с алгебраическими выражениями (коммутативность сложения, дистрибутивность, приведение подобных членов и т. д.). Члены p_kx ^k с нулевым коэффициентом p_k при записи обычно опускаются. Используя символ суммы, многочлены записывают в более компактном виде:

<math>p = p_m x^m + p_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + p_1 x + p_0 = \sum_{k=0}^m p_k x^k.</math>

Кольцо многочленов k[x]

Множество всех многочленов с коэффициентами в <math>k</math> образует коммутативное кольцо, обозначаемое <math>k[x]</math> и называемое кольцом многочленов над <math>k</math>. Символ <math>x</math> обычно называют «переменной», эта терминология возникла из рассмотрения полиномиальных функций над <math>\mathbb R</math> или над <math>\mathbb C</math>. Однако, в общем случае многочлены и полиномиальные функции — это разные вещи; например, над конечным полем <math>\mathbb F_p</math> из простого числа <math>p</math> элементов многочлены <math>x^{1}</math> и <math>x^{p+1}</math> задают одну и ту же функцию, но это разные многочлены (многочлены считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают все коэффициенты). Следовательно, переменную <math>x</math> нельзя считать принадлежащей полю <math>k</math>; о кольце <math>k[x]</math> можно думать так: мы добавляем во множество элементов поля новый элемент <math>x</math> и требуем только того, чтобы выполнялись аксиомы кольца и чтобы <math>x</math> коммутировал с элементами поля.

Поскольку элементы кольца многочленов можно умножать на «скаляры» из поля <math>k</math>, оно фактически является ассоциативной алгеброй над полем <math>k</math>. Если рассматривать <math>k[x]</math> как векторное пространство (то есть «забыть» об умножении), оно имеет бесконечный базис из элементов <math>1=x^0</math>, <math>x=x^1</math>, <math>x^2</math> и т. д.

Разложение на простые в k[x]

В кольце k[x] один многочлен можно разделить на другой (например, воспользовавшись алгоритмом деления столбиком) с остатком. При этом степень остатка будет меньше, чем степень делителя, это делает функцию «степень многочлена» евклидовой функцией, а кольцо многочленов — евклидовым. Из этого следует, что в кольце многочленов можно осуществить алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя, а значит, существует разложение на простые (такие кольца называются факториальными). Из этого также следует, что k[x] — область главных идеалов.

Факторкольца k[x]

Рассмотрим коммутативное кольцо L, содержащее поле k, такое что существует элемент θ кольца L, причем L порождается θ над k, то есть любой элемент L можно выразить через θ и коэффициенты из поля k с помощью операций сложения и умножения. Тогда существует единственный гомоморфизм колец φ из k[x] в L, «сохраняющий» k и отправляющий x в θ. Сюръективность этого отображения означает в точности то, что L порождется θ над k. Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме, получаем, что L изоморфно факторкольцу k[x] по ядру φ; поскольку любой идеал в k[x] главный,

<math> L \simeq k[x]/(p). </math>

Важный частный случай — когда кольцо, содержащее k, само является полем; обозначим его K. Простота фактормодуля по <math> (p) </math> равносильна неприводимости <math>p</math>. Теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение может быть порождено одним элементом, и, следовательно, имеет вид фактора кольца многочленов над меньшим полем по неприводимому многочлену. В качестве примера можно привести поле комплексных чисел, которое порождено над R элементом i, таким что i² + 1 = 0. Соответственно, многочлен x² + 1 неприводим над R и

<math> \mathbb{C} \simeq \mathbb{R}[x]/(X^2+1). </math>

Более общо, для произвольного (даже некоммутативного) кольца A, содержащего k и элемента a кольца A, коммутирующего со всеми элементами k, существует единственный гомоморфизм колец из k[x] в A, отправляющий x в a:

Существование и единственность такого гомоморфизма выражается с помощью определенного универсального свойства кольца многочленов и объясняет определенную «уникальность» кольца многочленов в различных конструкциях теории колец и коммутативной алгебры.

Модули

k[x] — область главных идеалов, поэтому к модулям над ним применима соответствующая структурная теорема. Эта классификация важна в теории линейных операторов, так как модули над k[x] взаимно-однозначно соответствуют линейным операторам на k-векторном пространстве.

Многочлены над кольцом

Многочлены над кольцом определяются совершенно аналогично многочленам над полем, однако большая часть перечисленных выше свойств для них перестаёт быть верной. Во-первых, к многочленам над произвольным кольцом нельзя применить алгоритм деления столбиком — ведь в кольце невозможно делить даже на многочлены нулевой степени (константы). Следовательно, в общем случае кольцо многочленов не является евклидовым (и даже областью главных идеалов), однако R[x] останется факториальным в том случае, если само R факториально. В этом же смысле при переходе к кольцу многочленов сохраняются свойства целостности и нётеровости (последний результат известен как теорема Гильберта о базисе).

Многочлены от нескольких переменных

Определение

Многочлен от n переменных X₁,…, X_n с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса α = (α₁,…, α_n), где каждое α_i — ненулевое целое число, пусть

<math> X^\alpha = \prod_{i=1}^n X_i^{\alpha_i} =

X_1^{\alpha_1}\ldots X_n^{\alpha_n}, \quad p_\alpha = p_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\in\mathbb{K}.\ </math>

X^α называется одночленом степени <math> |\alpha| = \sum_{i=1}^n \alpha_i</math>. Многочлен — это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K: <math>\sum_\alpha p_\alpha X^\alpha </math>.

Многочлены от n переменных с коэффициентами в поле k (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое k[x₁,…, x_n]. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятие кольца многочленов над данным кольцом». Например, k[x₁, x₂] изоморфно k[x₁][x₂], как и k[x₂][x₁]. Это кольцо играет фундаментальную роль в алгебраической геометрии. Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.

Теорема Гильберта о нулях

Несколько фундаментальных результатов, касающихся взаимосвязи между идеалами кольца k[x₁,…, x_n] и алгебраическими подмногообразиями kⁿ известны под общим именем теоремы Гильберта о нулях.

(слабая форма, алгебраически замкнутое поле) Пусть k — алгебраически замкнутое поле. Тогда любой максимальный идеал m кольца k[x₁,…, x_n] имеет вид

<math> m = (x_1-a_1, \ldots, x_n-a_n), \quad a = (a_1, \ldots, a_n) \in k^n. </math>

(слабая форма, любое поле коэффициентов) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле, содержащее k и I — идеал в кольце k[x₁,…, x_n]. Тогда I содержит 1 в том и только в том случае, когда многочлены из I не имеют общего нуля в Kⁿ.
(сильная форма) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле, содержащее k, I — идеал в кольце k[x₁,…, x_n] и V(I) — алгебраическое подмногообразие, Kⁿ определенное I. Пусть f — многочлен, равный нулю во всех точках V(I). Тогда некоторая степень f принадлежит идеалу I.

Если использовать определение радикала идеала, эта теорема утверждает, что f принадлежит радикалу I. Немедленное следствие из этой формы теоремы — существование биективного соответствия между радикальными идеалами K[x₁,…, x_n] и алгебраическими подмногообразиями n-мерного аффинного пространства Kⁿ.

См. также

Литература

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.