Площадь кольца, ограниченного окружностями радиусов R и r, определяется как разность площадей кругов с такими радиусами:
<math>A = \pi(R^2 - r^2)</math>
Площадь кольца также может быть вычислена путём умножения числа пи на квадрат половины длины самого большого отрезка, лежащего внутри кольца. Это можно доказать через теорему Пифагора — такой отрезок будет являться касательной к кругу меньшего радиуса. Половина длины отрезка с радиусами r и R образуют прямоугольный треугольник.
В комплексном анализе
Kольцо <math>\mathrm{ann}(a; r, R)</math> на комплексной плоскости определяется следующим образом:
<math>\mathrm{ann}(a; r, R)=\{\,z\in\mathbb{C}\mid r < |z-a| < R\,\}.</math>
Kольцо является открытым множеством
Если r равно 0, область называется проколотым диском радиуса R вокруг точки a.
Как подмножество комплексной плоскости кольцо может рассматриваться в качестве Римановой поверхности. Комплексная структура кольца зависит только от отношения r/R. Каждое кольцо ann(a; r, R) может быть голоморфно отображено в расположенное в начале координат стандартное кольцо с внешним радиусом 1 с помощью отображения:
<math>z \mapsto \frac{z-a}{R}.</math>
Внутренний радиус тогда будет r/R < 1.
Свойства
Теорема Адамара о трёх кругах устанавливает максимальное значение, принимаемое аналитической функцией внутри кольца.
