Русская Википедия:Кольцо (математика)

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения Шаблон:About Кольцо́ (также ассоциативное кольцо) в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел (целых, вещественных, комплексных), совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образомШаблон:Sfn.

Понятие кольца[1] было введено для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов, над которыми операции производятся.

Кольца являются основным объектом изучения теории колец — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел, алгебраической <math>K</math>-теории, теории инвариантов.

История

Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 1860—1870-е годы было построение теории делимости в общих полях алгебраических чисел. Решение этой задачи было опубликовано Рихардом Дедекиндом («X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле», 1871 год). В этой работе было впервые рассмотрено понятие кольца целых числового поля, в этом контексте были определены понятия модуля и идеала[2]. Шаблон:Раздел не завершён

Определение

Кольцо — множество <math>R</math>, на котором заданы две бинарные операции: <math>+</math> и <math>\times</math> (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых <math>a, b, c \in R</math>:

  1. <math>a + b = b + a</math> — коммутативность сложения;
  2. <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math> — ассоциативность сложения;
  3. <math>\exists 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right)</math> — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. <math>\forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right)</math> — существование противоположного элемента относительно сложения;
  5. <math>(a \times b) \times c=a \times (b \times c)</math> — ассоциативность умножения;
  6. <math>\left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \\ (b + c) \times a = (b \times a) + (c \times a) \end{matrix}\right. </math> — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — универсальная алгебра <math>\left(R, +, \times \right)</math>, являющаяся абелевой группой относительно сложения <math>+</math>, полугруппой относительно умножения <math>\times</math> и обладающая двусторонней дистрибутивностью <math>\times</math> относительно <math>+</math>.

Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

Иногда под кольцом понимают только кольца с единицейШаблон:Sfn (то есть требуют, чтобы <math>\left(R, \times \right)</math> была моноидом), но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицыШаблон:Sfn).

Вместо символа <math>\times</math> часто используют символ <math>\cdot</math> (либо вовсе его опускают).

Простейшие свойства

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

  • относительно сложения в кольце нейтральный элемент единственен;
  • для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен;
  • нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, единственен;
  • <math>a \cdot 0 = 0,</math> то есть 0 — поглощающий элемент по умножению;
  • <math>(-b) = (-1) \cdot b,</math> где <math>(-b)</math> — элемент, обратный к <math>b</math> по сложению;
  • <math>(-a) \cdot b = (-ab);</math>
  • <math>(-a) \cdot (-b) = (ab).</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Основные понятия

Виды элементов кольца

Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальнымШаблон:Переход). Тогда левый делитель нуля — ненулевой элемент <math>a</math> кольца <math>R,</math> для которого существует ненулевой элемент <math>b</math> кольца <math>R</math>, такой что <math>ab=0.</math> Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Пример: рассмотрим кольцо непрерывных функций на интервале <math>(-1, 1).</math> Положим <math>f(x)=\max(0, x),</math> <math>g(x)=\max(0, -x).</math> тогда <math>f\ne0, g\ne0, fg=0,</math> то есть <math>f, g</math> являются делителями нуля. Здесь условие <math>f\ne0</math> означает, что <math>f</math> является функцией, отличной от нуля, но не означает, что <math>f</math> нигде не принимает значение <math>0.</math>Шаблон:Sfn

Нильпотентный элемент — элемент <math>a,</math> такой что <math>a^n = 0</math> для некоторого <math>n > 0.</math> Пример: матрица <math>\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr).</math> Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверноШаблон:Sfn.

Идемпотентный элемент <math>e</math> — такой элемент, что <math>e\cdot e=e.</math> Например, идемпотентен любой оператор проектирования, в частности, следующий: <math>\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)</math> в кольце матриц <math>2\times 2.</math>Шаблон:Sfn

Если <math>a</math> — произвольный элемент кольца с единицей <math>R,</math> то левым обратным элементом к <math>a</math> называется <math>a^{-1}_{l}</math> такой, что <math>a^{-1}_{l}a=1.</math> Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента <math>a</math> есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что <math>a</math> обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается <math>a^{-1}.</math> Сам элемент называется обратимым элементом.Шаблон:Sfn

Подкольцо

Шаблон:Main Подмножество <math>A\subset R</math> называется подкольцом <math>R,</math> если <math>A</math> само является кольцом относительно операций, определённых в <math>R.</math> При этом говорят, что <math>R</math> — расширение кольца <math>A.</math>Шаблон:Sfn Другими словами, непустое подмножество <math>A\subset R</math> является подкольцом, если

  • <math>A</math> является аддитивной подгруппой кольца <math>R,</math> то есть для любых <math>x, y \in A : x+y, -x \in A,</math>
  • <math>A</math> замкнуто относительно умножения, то есть для любых <math>x, y \in A : xy \in A.</math>

По определению, подкольцо непусто, поскольку содержит нулевой элемент. Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольцаШаблон:Sfn.

Подкольцо наследует свойство коммутативностиШаблон:Sfn.

Пересечение любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество <math>E\subset R</math> называется подкольцом, порождённым <math>E,</math> а <math>E</math> — системой образующих для кольца <math>R.</math> Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих <math>E,</math> удовлетворяет этому определению.Шаблон:Sfn

Подкольцо кольца с единицей <math>R,</math> порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца <math>R.</math> Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца <math>R.</math>Шаблон:Sfn

Идеалы

Шаблон:Main Определение и роль идеала кольца сходны с определением нормальной подгруппы в теории группШаблон:Sfn.

Непустое подмножество <math>I</math> кольца <math>R</math> называется левым идеалом, если:

  • <math>I</math> является аддитивной подгруппой кольца, то есть сумма любых двух элементов из <math>I</math> принадлежит <math>I,</math> а также <math>a\in I\Rightarrow -a\in I.</math>
  • <math>I</math> замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого <math>a\in I,</math> <math>r\in R</math> верно <math>ra\in I</math>.

Из первого свойства следует и замкнутость <math>I</math> относительно умножения внутри себя, так что <math>I</math> является подкольцом.

Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.

Двусторонний идеал (или просто идеал) кольца <math>R</math> — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.

Также идеал кольца <math>R</math> может определяться как ядро некоторого гомоморфизма <math>f : R \to R'</math>Шаблон:Sfn.

Если <math>x</math> — элемент кольца <math>R</math>, то множество элементов вида <math>Rx</math> (соответственно, <math>xR</math>) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом, порождённым <math>x</math>. Если кольцо <math>R</math> коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый <math>x,</math> обозначается <math>(x).</math> Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главнымиШаблон:Sfn.

Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется простым, если факторкольцо по этому идеалу не имеет делителей нуля. Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется максимальнымШаблон:Sfn.

Гомоморфизм

Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) — отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца <math>R</math> в кольцо <math>S</math> — функция <math>f : R \to S,</math> такая что

  1. <math>f(a + b) = f(a) + f(b)</math>,
  2. <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b), ~\forall a, b \in ~R</math>.

В случае колец с единицей иногда требуют также условия <math>f(1) = 1</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмомШаблон:Sfn.

Если <math>f:R\to S</math> — гомоморфизм колец, множество элементов <math>R,</math> переходящих в ноль, называется ядром <math>f</math> (обозначается <math>\mathrm{ker} f</math>). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеаломШаблон:Sfn. С другой стороны, образ <math>f</math> не всегда является идеалом, но является подкольцом <math>S</math>Шаблон:Sfn (обозначается <math>\mathrm{im} f</math>).

Факторкольцо

Шаблон:Main Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы. Более точно, факторкольцо кольца <math>R</math> по двустороннему идеалу <math>I</math> — множество классов смежности аддитивной группы <math>R</math> по аддитивной подгруппе <math>I</math> со следующими операциями:

  • <math>(a + I) + (b + I) = (a + b) + I</math>,
  • <math>(a + I)(b + I) = (ab) + I</math>.

Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм <math>p: R \to R/I</math>, задаваемый как <math>x \mapsto x + I</math>. Ядром при этом является идеал <math>I</math>.

Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец: пусть <math>f : R \to R',</math> тогда <math>\mathrm{Im} f</math> изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма <math>\mathrm{Im} f \simeq R/\mathrm{Ker} f</math>Шаблон:Sfn.

Некоторые особые классы колец

  • Кольцо с единицей <math>1 \neq 0</math>, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется теломШаблон:Sfn.
  • Коммутативное тело называется полемШаблон:Sfn; иначе говоря, поле — коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеаловШаблон:SfnШаблон:Sfn.
  • Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом)Шаблон:Sfn. Любое поле является областью целостности, но обратное неверноШаблон:Sfn.
  • Целостное кольцо <math>R</math>, не являющееся полем, называется евклидовым, если на кольце задана норма <math>N\colon R \to Z_+</math> такая, что:
    1. для любых ненулевых <math>a,b \in R</math> верно, что <math>N(a) \le N(ab)</math>;
    2. для любых ненулевых <math>a,b \in R</math> существуют <math>q,r \in R</math> такие, что <math>a = qb + r</math> и <math>r = 0</math> или <math>N( r ) < N(b)</math>Шаблон:Sfn.
  • Целостное кольцо, в котором всякий идеал является главным, называется кольцом главных идеалов; всякие евклидово кольцо и всякое поле являются кольцами главных идеаловШаблон:Sfn.
  • Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом, например, множество чётных чисел является числовым кольцом, но не будет кольцом никакая система отрицательных чисел, так как их произведение положительноеШаблон:Sfn.

Примеры

<math>A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A),</math>
<math>A \cdot B = A \cap B.</math>
Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё <math>X.</math> Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть <math>A\cdot A = A.</math> Любой элемент является своим обратным по сложению: <math>A+A=0.</math> Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностейШаблон:Sfn.

Конструкции

Прямое произведение

Произведение <math>R\times S</math> колец <math>R</math> и <math>S</math> можно снабдить естественной структурой кольца: для любых <math>r_1,r_2\in R</math>, <math>s_1,s_2\in S</math>:

  • <math>(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),</math>
  • <math>(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).</math>

Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно)Шаблон:Sfn.

Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо и <math>\mathfrak{a}_1, \cdots, \mathfrak{a}_n</math> — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их сумма равна всему кольцу). Китайская теорема об остатках утверждает, что отображение:

<math>R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x + \mathfrak{a}_1, \ldots , x + \mathfrak{a}_n)</math>

сюръективно, а его ядро — <math>\prod \mathfrak{a}_i = \cap \mathfrak{a}_i</math> (произведение идеалов, пересечение идеалов)Шаблон:Sfn.

Кольцо эндоморфизмов

Множество эндоморфизмов абелевой группы <math>(A, +)</math> образует кольцо, обозначаемое <math>\operatorname{End}(A)</math>. Сумма двух эндоморфизмов определяется покомпонентно: <math>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math>, а произведение — как композиция: <math>(fg)(x)=f(g(x))</math>. Если <math>(A, +)</math> — неабелева группа, то <math>f+g</math>, вообще говоря, не равно <math>g+f</math>, тогда как сложение в кольце должно быть коммутативнымШаблон:Sfn.

Поле частных и кольцо частных

Шаблон:Main Для целостного кольца <math>R</math> существует конструкция, позволяющая построить наименьшее поле, содержащее его. Поле частных кольца <math>R</math> — множество классов эквивалентности формальных дробей <math>p/q,\; p,q\in R</math> по следующему отношению эквивалентности:

<math>{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}</math> тогда и только тогда, когда <math>{p_1q_2}= {p_2q_1}</math>,

с обычными операциями: <math>{a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd}</math> и <math> {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}</math>.

Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходится воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца: мультипликативно замкнутая система <math>S</math> в коммутативном кольце <math>R</math> (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит) — кольцо частных <math>S^{-1}R</math> — множество классов эквивалентности формальных дробей <math>r/s,\; r\in R, s\in S</math> по отношению эквивалентности:

<math>{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2}</math> тогда и только тогда, когда существует <math>s'\in S</math>, такое что <math>s'({r_1s_2-r_2s_1})= 0</math>.

Также эту конструкцию называют локализацией кольца (так как в алгебраической геометрии она позволяет исследовать локальные свойства многообразия в отдельной его точке). Пример: кольцо десятичных дробей — локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе <math>S=\{10^n \mid n\geqslant 0\}</math>.

Существует естественное отображение <math>R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1</math>. Его ядро состоит из таких элементов <math>r</math>, для которых существует <math>s \in S</math>, такое что <math>rs = 0</math>. В частности, для целостного кольца это отображение инъективноШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Категорное описание

Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют категорию, обычно обозначаемую <math>\mathbf{Ring}</math> (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают <math>\mathbf{Rng}</math>). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она полна и кополна. Это значит, что в ней существуют все малые пределы и копределы (например, произведения, копроизведения, ядра и коядра). Категория колец с единицей обладает начальным объектом (кольцо <math>\mathbb Z</math>) и терминальным объектом (нулевое кольцо).

Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — моноид в категории абелевых групп (абелевы группы образуют моноидальную категорию относительно операции тензорного произведения). Действие кольца R на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как моноид по умножению) превращает абелеву группу в R-модуль. Понятие модуля обобщает понятие векторного пространства: грубо говоря, модуль — «векторное пространство над кольцом».Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Специальные классы колец

Шаблон:Кол

Шаблон:Конец кол

Обобщения — неассоциативное кольцо, полукольцо, почтикольцо.

Структуры над кольцами

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Вс

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Статья
  2. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Кольцо_(математика)&oldid=10151478