Русская Википедия:Коммутантно-ассоциативная алгебра

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Коммутантно-ассоциативная алгебра — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. Тождеству коммутантной ассоциативности:

<math> ([A_1,A_2], [A_3,A_4], [A_5,A_6]) =0 </math>,

для всех <math>A_1,A_2, A_3,A_4, A_5,A_6 \in M</math>. где <math>[A,B] = g(A,B) - g(B,A)</math> — коммутатор элементов A и B, а <math>(A,B,C) = g(g(AB),C) - g(A,g(B,C))</math> — ассоциатор элементов A, B и C.

2. Условию билинейности:

<math> g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C) </math>

для всех <math>A,B,C \in M</math> и <math>a,b \in F</math>.

Другими словами, алгебра M является коммутантно-ассоциативной, если коммутант, то есть подалгебра алгебры M образованная всеми коммутаторами <math>[A,B]</math>, является ассоциативной алгеброй.

Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования <math>[A,B]=g(A,B)-g(B,A)</math>, превращает её в алгебру <math>M^{(-)}</math>. При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то <math>M^{(-)}</math> будет алгеброй Валя.

См. также

• Общая алгебра
• Алгебра Мальцева
• Альтернативная алгебра
• Алгебра Валентины
• Группа Ли

Литература

• A. Elduque, H. C. Myung Mutations of alternative algebras, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1994, ISBN 0-7923-2735-7
• V.T. Filippov (2001), «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• M.V. Karasev, V.P. Maslov, Nonlinear Poisson Brackets: Geometry and Quantization. American Mathematical Society, Providence, 1993.
• A.G. Kurosh, Lectures on general algebra. Translated from the Russian edition (Moscow, 1960) by K. A. Hirsch. Chelsea, New York, 1963. 335 pp. ISBN 0-8284-0168-3 ISBN 978-0-8284-0168-5
• A.G. Kurosh, General algebra. Lectures for the academic year 1969/70. Nauka, Moscow,1974. (In Russian)
• A.I. Mal’tsev, Algebraic systems. Springer, 1973. (Translated from Russian)
• A.I. Mal’tsev, Analytic loops. Mat. Sb., 36 : 3 (1955) pp. 569–576 (In Russian)
• Шаблон:Книга
• V.E. Tarasov, «Quantum dissipative systems: IV. Analogues of Lie algebras and groups» // Theoretical and Mathematical Physics. Vol.110. No.2. (1997) pp.168-178.]
• V.E. Tarasov Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier Science, Amsterdam, Boston, London, New York, 2008. ISBN 0-444-53091-6 ISBN 978-0-444-53091-2
• Zhevlakov, K.A. (2001), «Alternative rings and algebras», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4