Русская Википедия:Коммутативность конъюнкции

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Коммутативность конъюнкции — общезначимая логическая форма аргумента и истинностно-функциональная тавтология, в логике высказываний. Рассматривается как закон классической логики. Согласно данному принципу, конъюнкты логической связки могут меняться местами друг с другом, сохраняя при этом истинностное значение итогового высказывания.

Формальное обозначение

Коммутативность конъюнкции может быть сформулирована, в исчисление секвенций, следующим образом:

<math>(P \land Q) \vdash (Q \land P)</math>

и

<math>(Q \land P) \vdash (P \land Q)</math>

где <math>\vdash</math> — значение металогического символа, такое, что <math>(Q \land P)</math>является синтаксическим следствием <math>(P \land Q)</math> в одном случае, а <math>(P \land Q)</math> является синтаксическим следствием <math>(Q \land P)</math> в другом, в некоторой формальной системе.

или в форме правила вывода:

<math>\frac{P \land Q}{\therefore Q \land P}</math>

и

<math>\frac{Q \land P}{\therefore P \land Q}</math>

где действует правило, что везде, где есть экземпляр «<math>(P \land Q)</math>» встречается в одной из строк доказательства, то его можно заменить на «<math>(Q \land P)</math>», и где бы ни находился экземпляр «<math>(Q \land P)</math>» появляется в строке доказательства, то может быть заменён на «<math>(P \land Q)</math>»;

или как утверждение истинностно-функциональной тавтологии или теоремы логики высказываний:

<math>(P \land Q) \to (Q \land P)</math>

и

<math>(Q \land P) \to (P \land Q)</math>

где <math>P</math> и <math>Q</math> — пропозиции, выраженные в некоторой формальной системе.

Обобщённый принцип

Для любых пропозиций H₁, H₂, ... H_n и перестановки σ(n) чисел от 1 до n, справедливо, когда:

Ч ₁ <math>\land</math>Ч ₂ <math>\land</math>... <math>\land</math> H_n

эквивалентно

H _σ(1) <math>\land</math>H _σ(2) <math>\land</math>H _σ(n).

Например, если H₁ это:

Идёт дождь

H₂ значит

Сократ смертен

и H₃ равен

2+2=4

тогда

Идёт дождь, и Сократ смертен, и 2+2=4

эквивалентно

Сократ смертен, а 2+2=4, и идёт дождь

и другие варианты порядка следования предикатов.

Наглядный пример

Предположим два высказывания:

• A: читать книгу.
• B: слушать музыку.

Теперь составим из них конъюнкцию, то есть высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба компонента:

• A и B: читать книгу и слушать музыку.

Но также можно поменять местами A и B, получив другую конъюнкцию:

• B и A: слушать музыку и читать книгу.

Заметим, что обе конъюнкции имеют одинаковое значение истинности, то есть они эквивалентны и конъюнкция коммутативна, то есть не зависит от порядка своих компонентов.

Формальная запись выглядит так:

• A и B = B и A

или, используя символы логики:

• A ⋀ B = B ⋀ A

Это утверждение является тавтологией, то есть всегда истинным независимо от значений A и B.