Русская Википедия:Коммутатор (алгебра)

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Коммутатором операторов <math>\hat A</math> и <math>\hat B</math> в алгебре, а также квантовой механике называется оператор <math>[\hat A, \hat B] = \hat A \hat B - \hat B \hat A</math>. В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Тождества с коммутатором

  • Антикоммутативность: <math>[A,B] = -[B,A].</math> Из этого тождества следует что <math>[A,A]=0</math> для любого оператора <math>A</math>.

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

  • <math>[A,BC] = [A,B]C + B [A,C]</math>. Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора <math>D_A = [A,\cdot].</math> По этой причине оператор <math>D_A</math> называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор <math>\tilde D_A = [\cdot,A].</math>
  • Тождество Якоби: <math>[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.</math> Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
  • <math>[AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.</math> Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.
  • <math>[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B</math>
  • <math>[ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC</math>
  • <math>[AB,CD] = A[B,CD] +[A,CD]B = A[B,C]D + AC[B,D] +[A,C]DB + C[A,D]B</math>
  • <math>[A,BCD] = [A,B]CD + B[A,C]D + BC[A,D]</math>
  • <math>[A,BCDE] = [A,B]CDE + B[A,C]DE + BC[A,D]E + BCD[A,E]</math>
  • <math>[ABCD,E] = ABC[D,E] + AB[C,E]D + A[B,E]CD + [A,E]BCD</math>
  • <math>[[[A,B], C], D] + [[[B,C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]]</math>
  • <math>e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operatorname{ad}(A)} B.</math> Эта формула справедлива в алгебрах, где может быть определена матричная экспонента, например, в Банаховой алгебре или в кольце формальных степенных рядов. Она также играет важнейшую роль в квантовой механике и квантовой теории поля при построении теории возмущений для операторов в представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия.
  • <math>\ln \left( e^{A} e^Be^{-A} e^{-B}\right)= [A,B]+\frac{1}{2!}[(A+B),[A,B]]+\frac{1}{3!}\left( [A,[B,[B,A]]]/2 + [(A+B),[(A+B),[A,B]]] \right)+\cdots .</math>

Коммутатор в квантовой механике

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора <math>\hat F</math> физической величины <math>f</math> на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам <math>\hat F</math>, при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

<math>\hat F \psi_i= f \psi_i</math>

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

<math>\hat F \hat G \psi_i = g \hat F \psi_i = g f \psi_i = \hat G \hat F \psi_i</math>

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) <math>\hat p_x = - i \hbar \frac {\partial}{\partial x}</math> и соответствующей координаты <math>\hat x = x</math> (см. соотношение неопределённостей).

Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

<math>i \hbar \frac {\partial \psi}{\partial t} = \hat H \psi</math>

и определения полной производной оператора по времени

<math>\dot {\hat f} = \hat {\dot f}</math>

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

<math>\dot {\hat f} = {i \over \hbar} [\hat H, \hat f]+ \frac {\partial \hat f}{\partial t} </math>

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

<math>\dot f = \mathcal{\{} H,f \mathcal{\}} + \frac {\partial f}{\partial t}</math>

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

<math>\hat r_i, \hat p_i, \hat L_i</math> — оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса; <math>\delta_{i j}</math> — дельта Кронекера; <math>e_{i j k}</math> — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.
<math>[\hat r_i, \hat p_j] = i \hbar \delta_{i j}</math>
<math>[\hat p, f(\vec r)] = - i \hbar \nabla f</math>
<math>[\hat L_i, \hat r_j] = i \hbar e_{i j k}\hat r_k</math>
<math>[\hat L_i, \hat p_j] = i \hbar e_{i j k}\hat p_k</math>
<math>[\hat L_i, \hat L_j] = i \hbar e_{i j k}\hat L_k</math>
<math>[\hat L^2, \hat L_i] = 0</math>

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента: <math>\ \hat L_j = \hbar \hat l_j</math>

<math>[\hat l_i, \hat r_j] = i e_{i j k}\hat r_k</math>
<math>[\hat l_i, \hat p_j] = i e_{i j k}\hat p_k</math>
<math>[\hat l_i, \hat l_j] = i e_{i j k}\hat l_k</math>
<math>[\hat l^2, \hat l_i] = 0</math>

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно <math>z</math>) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величины

Некоммутирующими величинами <math>A</math> и <math>B</math> называются величины, коммутатор которых <math>[A,B] = AB - BA \neq 0</math>.

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда, когда их операторы коммутируют[1].

Антикоммутатор

Антикоммутатор — симметризующий оператор над элементами кольца, определяющий степень «антикоммутативности» умножения в кольце:

<math>[x, y]_+ := xy + yx </math>

Через антикоммутатор вводится коммутативное «йорданово умножение». Алгебра Клиффорда всегда естественным образом связывает антикоммутатор с задающей её билинейной формой.

Примеры

Литература

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Коммутатор_(алгебра)&oldid=10154991