Русская Википедия:Компактификация Бора
Компактификация Бора топологической группы G — это бикомпактная топологическая группа H, которая может быть канонически ассоциирована с группой G. Её важность лежит в сведении теории равномерно почти периодических функций на G к теории непрерывных отображений на H. Концепция названа именем датского математика Харальда Бора, который первым начал изучение почти периодических функций на вещественной прямой.
Определения и основные свойства
Если задана топологическая группа G, компактификация Бора группы G — это бикомпактная топологическая группа <math>\mathbf{Bohr}(G)</math> и непрерывный гомоморфизмШаблон:Sfn
- <math>\mathbf{b}\colon G \to \mathbf{Bohr}(G),</math>
который является универсальным по отношению к гомоморфизмам в бикомпактные группы. Это означает, что если K является другой бикомпактной топологической группой и
- <math>f\colon G\to K</math>
является непрерывным гомоморфизмом, то имеется единственный непрерывный гомоморфизм
- <math>\mathbf{Bohr}(f)\colon \to K,</math>
такой что <math>f = \mathbf{Bohr}(f)\circ b</math>f = Bohr(f) ∘ b.
Теорема. Компактификация Бора существуетШаблон:SfnШаблон:Sfn и единственна с точностью до изоморфизма.
Обозначим компактификацию Бора группы G через <math>\mathbf{Bohr}(G),</math> а каноническое отображение через
- <math> \mathbf{b}: G \rightarrow \mathbf{Bohr}(G).</math>
Соответствие <math>G \mapsto \mathbf{Bohr}(G)</math> определяет ковариантный функтор на категории топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.
Компактификация Бора тесно связана с теорией конечномерных Шаблон:Нп5 топологических групп. Ядро группы b состоит в точности из тех элементов группы G, которые не могут быть отделены от тождественного элемента группы G конечномерным унитарным представлением.
Компактификация Бора сводит также многие проблемы теории почти периодических функций на топологических группах к проблемам функций на компактных группах.
Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на топологической группе G является однородно почти периодической тогда и только тогда, когда множество правых переносов <math>_gf</math>, где
- <math> [{}_g f ] (x) = f(g^{-1} \cdot x),</math>
относительно компактно в равномерной топологии при изменении g в G.
Теорема. Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на G равномерно почти периодична, если существует непрерывная функция <math>f_1</math> на <math>\mathbf{Bohr}(G)</math> (единственно определённая), такая что
- <math> f = f_1 \circ \mathbf{b}. </math>Шаблон:Sfn
Максимально почти периодические группы
Топологические группы, для которых отображение компактификации Бора инъективно, называются максимально почти периодическими (МПП группами). В случае, если G локально компактная связная группа, МПП группы полностью определены — это в точности произведение компактных групп на векторные группы конечной размерности.
См. также
- Компактное пространство
- Компактификация
- Множество с отмеченной точкой
- Компактификация Стоуна — Чеха
- Шаблон:Нп5
Примечания
Литература
