Русская Википедия:Компактный оператор

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Компа́ктный опера́тор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными.

Определение

Пусть <math>X,Y</math> — банаховы пространства. Линейный оператор <math>T: X \to Y</math> называется компактным, если любое ограниченное подмножество в <math>X</math> он переводит в предкомпактное подмножество в <math>Y</math>.

Существует эквивалентное определение, использующее понятие слабой топологии: линейный оператор <math>T: X \to Y</math> называется компактным, если его сужение на единичный шар в <math>X</math> является непрерывным отображением относительно слабой топологии в <math>X</math> и нормовой топологии в <math>Y</math>. Очевидно, свойство компактности сильнее, чем ограниченность.

Множество компактных операторов <math>T: X \to Y</math> обозначается через <math>\mathcal{K}(X,Y)</math>. Оно является подмножеством в пространстве ограниченных операторов <math>\mathcal{L}(X,Y)</math>, действующих из <math>X</math> в <math>Y</math>.

Простейшие свойства

• Всякий вполне непрерывный оператор является ограниченным, однако не всякий ограниченный оператор является вполне непрерывнымШаблон:Sfn.
• Линейная комбинация вполне непрерывных операторов <math>A, B</math> вида <math>\alpha A + \beta B</math>, где <math>\alpha, \beta</math> — числа, также является вполне непрерывным операторомШаблон:Sfn.
• Пусть <math>A</math> — вполне непрерывный оператор, отображающий бесконечномерное банахово пространство в себя, и <math>B</math> — произвольный линейный ограниченный оператор, определённый на этом же пространстве. Тогда <math>AB</math> и <math>BA</math> являются вполне непрерывными операторамиШаблон:Sfn.
• Если последовательность вполне непрерывных операторов <math>\left \{ A_{n} \right \}</math>, отображающих пространство <math>E_{x}</math> в полное пространство <math>E_{y}</math>, равномерно сходится к оператору <math>A</math> (то есть <math>\left \| A - A_{n} \right \| \to 0</math>), то <math>A</math> также вполне непрерывный оператор.Шаблон:Sfn
• Если оператор компактен, то сопряженный к нему тоже компактен.

Примеры

Наиболее содержательные примеры компактных операторов доставляет теория интегральных уравнений:

• Возьмём произвольную функцию <math>g \in L_2([0,1] \times [0,1])</math>. Тогда определённый следующим образом интегральный оператор <math>T: L_2(0,1) \to L_2(0,1)</math> будет компактным:

<math>(Tf)(t) = \int\limits_0^1 g(s, t)f(s)\,ds</math>

• Пусть функция g на <math>[0,1] \times [0,1]</math> имеет точки разрыва лишь на конечном числе кривых. Тогда оператор <math>T: C(0,1) \to C(0,1)</math>, определённый точно так же, как и оператор в предыдущем примере, является компактным уже в пространстве непрерывных функций.

Диагональный оператор <math>T_\lambda: l_2 \to l_2</math>, соответствующий последовательности <math>\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots)</math> и действующий по правилу <math>x = (x_1, x_2, \dots ) \to (\lambda_1 x_1, \lambda_2 x_2, \dots)</math> ограничен тогда и только тогда, когда последовательность <math>\lambda</math> ограничена, а компактность равносильна сходимости последовательности <math>\lambda</math> к нулю.

Обратимый оператор <math>A: X \to Y</math> компактен тогда и только тогда, когда <math>X,Y</math> конечномерны.

Конечномерные операторы

Очевидно, что любой линейный ограниченный оператор с конечномерным образом является компактным (такие операторы называются конечномерными). Для компактного оператора <math>T: X \to Y</math>, где <math>Y</math> — гильбертово пространство, всегда существует последовательность конечномерных операторов, сходящаяся к <math>T</math> по норме. Однако, это неверно для произвольного пространства <math>Y</math>. Говорят, что банахово пространство <math>Y</math> обладает свойством аппроксимации, если для любого банахова пространства <math>X</math> любой компактный оператор <math>T: X \to Y</math> может быть приближен конечномерными операторами. Существуют сепарабельные банаховы пространства, не обладающие свойством аппроксимации.

Свойства пространства компактных операторов

Из базовых свойств компактных операторов сразу следует, что <math>\mathcal{K}(X,Y)</math> является подпространством в <math>\mathcal{L}(X,Y)</math>. Однако, можно показать, что это подпространство замкнуто. В случае, когда <math>X=Y</math>, пространство операторов приобретает структуру алгебры (умножение задается композицией операторов). Тогда <math>\mathcal{K}(X,X)</math> является замкнутым двусторонним идеалом в <math>\mathcal{L}(X)</math>.

Свойство аппроксимации для пространства <math>Y</math> можно сформулировать таким образом: для любого банахова пространства <math>X</math> пространство <math>\mathcal{K}(X,Y)</math> является замыканием пространства конечномерных операторов из <math>X</math> в <math>Y</math>.

Спектральные свойства компактных операторов

Пусть <math>T: X \to X</math> — компактный оператор. Тогда оператор <math>K = I - T</math> является нетеровым оператором индекса 0 (фредгольмовым). В частности, имеем альтернативу Фредгольма для <math>K</math>: он сюръективен тогда и только тогда когда инъективен (альтернатива в том, что либо ядро не пусто, либо образ совпадает со всем пространством). Как следствие сразу получаем, что весь ненулевой спектр компактного оператора является дискретным (остаточный и непрерывный спектры могут содержать только ноль). Ноль же всегда принадлежит спектру оператора <math>T</math> в бесконечномерном случае (иначе обратимый оператор был бы компактен) и может не быть собственным значением для оператора <math>T</math>.

В случае, когда оператор <math>T</math> является самосопряженным (здесь <math>X</math> гильбертово), дополнительно имеем теорему Гильберта-Шмидта: существуют конечная или счетная ортонормированная система векторов <math>e_1, e_2, \dots</math> и последовательность ненулевых вещественных чисел (той же мощности, что и система векторов) <math>\lambda_1, \lambda_2, \dots</math>, такие, что оператор <math>T</math> действует по правилу <math>T(x) = \sum\limits_n \lambda_n (x, e_n)e_n</math>. Эта теорема является естественным обобщением аналогичной теоремы для самосопряженных операторов в конечномерном пространстве. Тем самым, класс компактных операторов, с точки зрения спектральных свойств, похож на операторы в конечномерном пространстве.

Классы компактных операторов

Пусть <math>T: X \to Y</math> — компактный оператор, <math>X,Y</math> — гильбертовы пространства. Тогда существуют пара конечных или счетных ортонормированных последовательностей одинаковой мощности <math>e_1, e_2, \dots</math> в <math>X</math> и <math>f_1, f_2, \dots</math> в <math>Y</math> и невозрастающая последовательность положительных вещественных чисел (той же мощности) <math>s_1, s_2, \dots</math>, сходящаяся к нулю, если она бесконечна, такие что оператор <math>T</math> действует по правилу <math>T(x) = \sum\limits_n s_n(x, e_n)f_n</math>. Данный факт известен под названием теорема Шмидта (по формулировке она очень похожа на теорему Гильберта — Шмидта, и, в самом деле, теорема Шмидта, с небольшими изменениями для самосопряженного оператора служит доказательством для теоремы Гильберта-Шмидта). Нетрудно показать, что числа <math>s_1, s_2, \dots</math>, которые называются числами Шмидта, однозначно определяются оператором.

Если для оператора <math>T</math> сходится <math>\sum\limits_n s_n^2 </math>, то оператор называется оператором Гильберта — Шмидта. Норма вводится соотношением <math>\|T\| = \sqrt{\sum\limits_n^{\ } s_n^2}</math>, причем она порождается скалярным произведением. Если же сходится <math>\sum\limits_n s_n </math>, то оператор называется ядерным или оператором со следом. На пространстве ядерных операторов норма вводится соотношением <math>\|T\| = \sum\limits_n s_n</math>.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Ядерный оператор
• Оператор Гильберта — Шмидта
• Фредгольмов оператор
• Непрерывный оператор