Русская Википедия:Комплексная амплитуда
Компле́ксная амплитуда (фазор) — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонического сигнала.
Определение
Пусть имеется гармонический сигнал:
<math> a(t) = A \cos \left( \omega t + \phi \right) </math>
Над сигналами, записанными в подобной форме, алгебраически неудобно производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а аргумент — фазе сигнала. При этом оригинальный сигнал a(t) равен действительной части данного комплексного числа b(t):
<math> a(t) = \Re(b(t)) </math>,
где <math> b(t) = A e^{i( \omega t + \phi )} = A e^{i\phi} e^{i \omega t} = \hat A e^{i \omega t} </math>
здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:
<math> \hat A = A e^{i \phi} </math>
Физический смысл
Алгебраическая форма
Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует амплитуде косинусной (синфазной) компоненты, а мнимая — амплитуде синусной (квадратурной) компоненты исходного сигнала. Так, для сигнала (1) имеем: <math> a(t) = \Re(\hat A) \cos (\omega t) - \Im(\hat A) \sin ( \omega t) </math>
где <math> \Re(\hat A) = A\cos (\phi), \quad \Im(\hat A) = A \sin (\phi) </math>
Тригонометрическая форма
Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала <math>\cos {(\omega t)}</math>.
Операции над комплексной амплитудой
К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами:
- умножение комплексной амплитуды на константу
- сложение комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
- вычитание комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
- интегрирование комплексной амплитуды по времени
- дифференцирование комплексной амплитуды по времени
приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами, а затем от них взята комплексная амплитуда.
Ограничения
Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые:
- принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот.
- меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).
Применение
Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку:
- Характеризует и амплитуду, и фазу
- Не содержит зависимости от времени
- Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе
Использование комплексных амплитуд и импедансов позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).
См. также
