Русская Википедия:Комплексная плоскость

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Ко́мпле́ксная[1] плоскость — геометрическое представление множества комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math>.

Файл:Illustration of a complex number.svg
Геометрическое представление комплексного числа

Точка двумерной вещественной плоскости <math>\mathbb{R}^2</math>, имеющая координаты <math>(x,y)</math>, изображает комплексное число <math>z=x+iy</math>, где:

<math>x=\mathrm{Re}\,z</math> — действительная (вещественная) часть комплексного числа,
<math>y=\mathrm{Im}\,z</math> — его мнимая часть.

Другими словами, комплексному числу <math>z=x+iy</math> соответствует радиус-вектор с координатами <math>(x,y).</math> Алгебраическим операциям над комплексными числами соответствуют операции над соответствующими им точками или векторами. Тем самым различные соотношения между комплексными числами получают наглядное изображение на комплексной плоскости:

  • сложению комплексных чисел соответствует сложение радиус-векторов;
  • умножению на комплексное число <math>re^{i\varphi}</math> соответствует поворот радиус-вектора на угол <math>\varphi</math> и растяжение радиус-вектора в <math>r</math> раз;
  • корни n-й степени из числа располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплекснозначные функции комплексного переменного интерпретируются как отображения комплексной плоскости в себя. Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости

Открытые множества

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью <math>{\mathcal U}_{z_0}</math> точки <math>z_0\in\mathbb C</math> называется множество вида <math>{\mathcal U}_{z_0}=\{z\colon|z-z_0|<r\},\,r>0</math>. Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности <math>\dot{\mathcal U}_{z_0}={\mathcal U}_{z_0}\setminus\{z_0\}</math>.

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую её окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на <math>\mathbb C</math> полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка <math>z_0\in\mathbb C</math> будет предельной для множества <math>G\subset\mathbb C</math>, если для произвольной окрестности <math>{\mathcal U}_{z_0}</math> пересечение <math>{\mathcal U}_{z_0}\cap G</math> будет не пусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается <math>G'</math>.

Множество <math>G\subset\mathbb C</math> будет называться замкнутым, если для него справедливо включение <math>G'\subset G</math>. Ясно видно, что для произвольного множества <math>G</math> множество <math>\overline{G}=G\cup G'</math> будет замкнуто; оно называется замыканием множества <math>G</math>.

Граница

Точка <math>z_0\in\mathbb C</math> будет называться граничной для множества <math>G\subset\mathbb C</math>, если для произвольной окрестности <math>{\mathcal U}_{z_0}</math> пересечения <math>{\mathcal U}_{z_0}\cap G</math> и <math>{\mathcal U}_{z_0}\cap({\mathbb C}\setminus G)</math> будут не пусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством <math>\partial G</math> или просто границей.

Всюду плотные множества

Множество <math>E\subset\mathbb C</math> будет называться всюду плотным в ином множестве <math>G\subset\mathbb C</math>, если для произвольной точки <math>z_0\in G</math> и любой окрестности <math>{\mathcal U}_{z_0}</math> пересечение <math>{\mathcal U}_{z_0}\cap E</math> не пусто.

Связность

Расстояние между множествами

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой <math>z_0</math> и некоторым множеством <math>G\subset\mathbb C</math> как величину <math>\mathrm{dist}\,(z_0,G)=\inf_{z\in G}|z-z_0|</math>.

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в <math>\mathbb C</math>: <math>\mathrm{dist}\,(G_1,G_2)=\inf_{z\in G_1}\mathrm{dist}\,(z,G_2)=\inf_{z\in G_2}\mathrm{dist}\,(z,G_1)</math>.

Связность

Множество <math>G\subset\mathbb C</math> называется связным, если для него выполнено соотношение <math>\inf_{z_1,z_2\in G}|z_1-z_2|=0</math>. Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество <math>G</math> можно представить в виде объединения (конечного или счетного) <math>\sum G_n</math>, где <math>G_n</math> — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества <math>G</math>. Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звёздные и линейно связные множества

Множество <math>G\subset\mathbb C</math> называется звёздным относительно точки <math>z_0\in G</math>, если для произвольной точки <math>z\in G</math> выполняется включение <math>\overline{z_0z}\subset G</math>.

Множество <math>G\subset\mathbb C</math> называется выпуклым, если оно звёздно относительно любой своей точки. Множество <math>G^*</math> называется выпуклой оболочкой множества <math>G</math>, если оно выпукло, <math>G\subset G^*</math> и для любого выпуклого множества <math>G^{**}</math>, содержащего множество <math>G</math> выполняется включение <math>G^*\subset G^{**}</math>.

Ломаной <math>\Gamma</math> называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество <math>G</math> называется линейно связным, если для двух произвольных точек <math>z_1,z_2\in G</math> существует ломаная <math>\Gamma\subset G</math> такая, что выполняется <math>z_1,z_2\in\Gamma</math>.

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звёздные множества.

Кривые на <math>\mathbb C</math>

Кривые и пути

Кривой или путём на комплексной плоскости <math>\mathbb C</math> называется отображение вида <math>\varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C</math>. Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции <math>\varphi(t)</math>, но и её направление. Для примера, функции <math>\varphi(t)</math> и <math>\eta(t)=\varphi(1-t)</math> будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых

Кривые <math>\varphi_0(t)\colon[0;1]\to\mathbb C</math> и <math>\varphi_1(t)\colon[0;1]\to\mathbb C</math> называются гомотопными, если существует кривая <math>\xi(t,q)\colon[0;1]\times[0;1]\to\mathbb C</math>, зависящая от параметра <math>q</math> таким образом, что <math>\xi(t,0)\equiv\varphi_0</math> и <math>\xi(t,1)\equiv\varphi_1</math>.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, напримерШаблон:Sfn:

  • Три (различные) точки <math>z_1,z_2,z_3</math> лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:
<math>\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math> является вещественным числом.
  • Четыре (различные) точки <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:
отношение <math>\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} : \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4}</math> является вещественным числом.

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет видШаблон:Sfn:

<math>z = ut + v,</math> где <math>u,v</math> — комплексные числа, <math>u \ne 0, t</math> — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми <math>z = ut + v</math> и <math>z = u't + v'</math> равен <math>\operatorname{arg}(u'/u).</math> В частности, прямые перпендикулярны, когда <math>u'/u</math> — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда <math>u' / u</math> есть вещественное число; если при этом <math>(v'-v)/u</math> также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая <math>z = ut + v</math> рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение <math>t=\operatorname{Im}\frac{z-v}{u}</math> положительно, на другой — отрицательно[2].

Уравнение окружности с центром <math>c</math> и радиусом <math>r</math> имеет чрезвычайно простой вид: <math>|z-c| = r.</math> Неравенство <math>|z-c| < r</math> описывает внутренность окружности[2]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружностиШаблон:Sfn: <math>z=c+e^{i\varphi}.</math>

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскостьШаблон:Sfn, дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой <math>(z=\infty)</math>:

<math>\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}</math>

Геометрически точка <math>\infty</math> изображается точкой сферы Римана (её «северный полюс»).

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место[3]:

  • <math>\frac{z}{\infty}=0; \ \ z+\infty=\infty \ (z \ne \infty)</math>
  • <math>z \cdot \infty=\infty; \ \ \frac{z}{0}=\infty \ (z \ne 0)</math>

<math>\varepsilon</math>-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек <math>z</math>, модуль которых больше, чем <math>1 \over \varepsilon </math>, то есть внешняя часть <math>1 \over \varepsilon</math>-окрестностей начала координат.

Расширенная комплексная плоскость называется также сферой Римана, так как она изоморфна обычной сфере <math>S^2</math> (изоморфизм можно установить, например, при помощи стереографической проекции). Комплекснозначные функции в некоторых случаях могут быть продолжены на сферу Римана. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.Шаблон:Уточнить

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
  2. ↑ 2,0 2,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок AH17 не указан текст
  3. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок ST20 не указан текст
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Комплексная_плоскость&oldid=10155527