Русская Википедия:Комплексная проективная плоскость
Шаблон:ЛП Комплексная проективная плоскость — двумерное Шаблон:Не переведено 5; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4.
Обычно обозначается <math>\mathbb C\mathrm P^2</math>.
Построение
Точки на комплексной проективной плоскости и описывается однородными комплексными координатами
- <math>(z_1,z_2,z_3) \in \mathbb C^3,\qquad (z_1,z_2,z_3)\neq (0,0,0).</math>
При этом тройки, отличающиеся на скаляр, считаются идентичными:
- <math>(z_1,z_2,z_3) \equiv (\lambda z_1,\lambda z_2, \lambda z_3);\quad \lambda\in \mathbb{C},\qquad \lambda \neq 0.</math>
Топология
- <math>\mathbb C\mathrm P^2</math> гомеоморфно фактору 5-мерной сферы <math>\mathbb S^5\subset \mathbb C^3</math> по действию Хопфа <math>\mathbb S^1</math>.
- Числа Бетти:
- 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....
- <math>\mathbb C\mathrm P^2</math> односвязно, его фундаментальная группа тривиальна.
- Нетривиальными гомотопическими группами комплексной проективной плоскости являются
- <math>\pi_2\mathbb C\mathrm P^2=\pi_5\mathbb C\mathrm P^2=\mathbb{Z}</math>.
- в старших размерностях, гомотопические группы те же, что у 5-мерной сферы.
Алгебраическая геометрия
В бирациональной геометрии комплексная рациональная поверхность — это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое несингулярное рациональное многообразие получается из плоскости в результате последовательности преобразований раздутия и обратных им («стягиваний») кривых, которые должны быть очень специфичного вида. В качестве частного случая несингулярные комплексные поверхности второго порядка в P3 получаются из плоскости путём раздутия двух точек до кривых, а затем стягивание прямой через эти две точки. Обратные им преобразования можно видеть, если взять точку P на поверхности Q второго порядка, раздуть её, и спроектировать на обычную плоскость в P3 путём проведения прямых через P.
Группой бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости является группа Кремоны.
Дифференциальная геометрия
Комплексная проективная плоскость есть 4-мерное многообразиее. Оно обладает естественной метрикой, так называемой метрикой метрикой Фубини — Штуди с 1/4-защеплённой секционной кривизной; то есть её максимальная секционная кривизна равна 4 а минимальная равна 1. Эта метрика инициируется на факторе <math>\mathbb C\mathrm P^2=\mathbb S^5/\mathbb S^1</math> по действию Хопфа <math>\mathbb S^1</math> на <math>\mathbb S^5</math>.
См. также
Примечания
Литература
