Русская Википедия:Комплексное многообразие

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Компле́ксное многообразие — хаусдорфово топологическое пространство, покрытое открытыми множествами, каждое из которых гомеоморфно области в <math>n</math>-мерном комплексном пространстве <math>\Complex^n</math>. При этом в пересечении двух открытых множеств преобразование локальных координат <math>\omega^{i}=u^{i}(z^{1},...,z^{n})</math> является комплексно-аналитическим. То есть функции <math>u^{i}</math> являются голоморфными, а функциональный определитель не обращается в ноль:

<math>\frac{\partial(\omega^{1}, \dots, \omega^{n}) }{\partial (z^{1}, ..., z^{n})} \neq 0</math>.

Набор таких открытых множеств называется голоморфным атласом многообразия.

Примеры комплексных многообразий:

• Ориентированная двумерная поверхность.
• Комплексное <math>n</math>-мерное векторное пространство <math>\Complex^n</math>.
• Комплексное проективное пространство <math>\Complex P^n</math>. В частности, <math>\Complex P^1</math> диффеоморфно двумерной сфере.
• Комплексная эллиптическая кривая. Диффеоморфна двумерному тору <math>\mathbb S^1 \times \mathbb S^1</math>

Эрмитова метрика на комплексном многообразии — аналог римановой метрики для вещественного многообразия, положительно определённая эрмитова форма вида

<math>ds^{2}=\sum_{j, k}h_{j \overline{k}}dz^{j}d\overline{z^{k}}</math>,

где <math>h_{j \overline{k}} = h_{\overline{j} k} </math> — комплексные функции. Шаблон:See also

Литература

• Шаблон:Книга