Русская Википедия:Комплекснозначная функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:О Комплекснозначная функция в теории функций вещественной переменной — функция, принимающая комплексные значения: <math>f\colon\R \to \Complex</math>.

Такая функция может быть представлена в виде:

<math>f(x) = u(x)+iv(x)</math>,

где <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math> — вещественные функции. В этом случае функция <math>u(x)</math> называется вещественной частью функции <math>f(x)</math>, а <math>v(x)</math> — её мнимой частью. В связи с таким разложением, на комплекснозначные функции естественным образом переносятся все понятия, вводимые для вещественнозначных функций, в частности, комплекснозначная функция считается непрерывной (дифференцируемой, аналитической, измеримой, гармонической), если её вещественная и мнимая части являются непрерывными (дифференцируемыми, аналитическими, измеримыми, гармоническими) функциями. Интеграл комплекснозначной функции <math>f(x) = u(x)+iv(x)</math> определяется следующим образом:

<math>\int\limits_a^b f(x) = \int\limits_a^b u(x)dx + i\int\limits_a^bv(x)dx</math>.

Однако не все свойства, выполненные для вещественной и мнимой части одновременно, могут быть распространены на комплекснозначные функции. В частности, для комплекснозначных функций в общем случае не действует теорема Ролля, например, производная комплекснозначной функции вещественного аргумента:

<math>\sigma(x) = e^{ix}</math>

на интервале <math>[0, 2\pi]</math> не обращается в нуль, хотя в конечных точках отрезка значения функции равны <math>(\sigma(0) = \sigma (2\pi) = 1)</math>.

Литература

• Шаблон:Книга