Русская Википедия:Комплексный логарифм

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Complex log.jpg

Наглядное представление функции натурального комплексного логарифма (главная ветвь). Аргумент значения функции обозначается цветом, а модуль — яркостью.

Комплексный логарифм — аналитическая функция, получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость (кроме нуля). Существует несколько эквивалентных способов такого распространения. Данная функция имеет широкое применение в комплексном анализе. В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.

Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм можно определить так же, как для вещественных, то есть как обращение показательной функции. На практике используется практически только натуральный комплексный логарифм, основание которого — число Эйлера <math>e</math>: он обозначается обычно <math>\mathrm{Ln}\, z</math>.

Шаблон:Рамка Натуральный логарифм комплексного числа <math>z</math> определяется как решение <math>w</math> уравнения <math>e^w=z.</math> |} Другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже.

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, <math>e^{\pi i}=-1</math>; однако также <math>e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i} \dots =-1</math>. Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом <math>2 \pi</math>)Шаблон:Sfn, и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция <math>w=\mathrm{Ln}\,z</math> является многозначной.

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое <math>z</math> можно представить в показательной форме:

<math>z=r \cdot e^{i (\varphi + 2 \pi k)}\;\;,</math> где <math>k</math> — произвольное целое число

Тогда <math>\mathrm{Ln}\,z</math> находится по формуле:

<math>\mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left( \varphi + 2 \pi k \right)</math>

Здесь <math>\ln\,r= \ln\,|z|</math> — вещественный логарифм. Отсюда вытекает: Шаблон:Рамка Комплексный логарифм <math>\mathrm{Ln}\, z</math> существует для любого <math>z \ne 0</math>, и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное <math>2\pi.</math> |}

Файл:NaturalLogarithmRe.svg

Вещественная часть комплексного логарифма

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале <math>(-\pi, \pi]</math>. Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается <math>\ln\,z</math>. Иногда через <math>\ln\, z</math> также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если <math>z</math> — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

<math>\operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)</math>

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к <math>-\infty.</math>

Логарифм отрицательного числа находится по формулеШаблон:Sfn:

<math>\mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots) </math>

Примеры значений комплексного логарифма

Приведём главное значение логарифма (<math>\ln</math>) и общее его выражение (<math>\mathrm{Ln}</math>) для некоторых аргументов:

<math>\ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i</math>

<math>\ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi</math>

<math>\ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = \frac{1}{2} i\pi(4k+1)</math>

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

<math> i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi</math> — явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (<math>k=-1</math>). Причина ошибки — неосторожное использование свойства <math>\log_a{(b^p)} = p~\log_a b</math>, которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность

Файл:Riemann surface log.svg

Риманова поверхность для комплексного логарифма

В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностьюШаблон:Sfn. Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: её образ (см. рисунок) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при <math>z=1</math>. Особые точки: <math>z=0</math> и <math>z=\infty</math> (точки разветвления бесконечного порядка).

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки <math>0</math>.

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая <math>\Gamma</math> начинается в единице, заканчивается в z, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке <math>w</math> кривой <math>\Gamma</math> можно определить по формулеШаблон:Sfn:

<math>\ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u}</math>

Если <math>\Gamma</math> — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

<math>\ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma</math>

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на <math>2\pi</math>. Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом <math>(-\pi, \pi]</math>. Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой <math>\Gamma</math> пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма:

<math>\frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}</math>

Для любой окружности <math>S</math>, охватывающей точку <math>0</math>:

<math>\oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i</math>

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью версий ряда Меркатора, известных для вещественного случая: Шаблон:EF Шаблон:EF

Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциямиШаблон:Sfn :

<math>\operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2})</math>

<math>\operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2})</math>

<math>\operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i)</math>

<math>\operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i)</math>

Гиперболические функции на комплексной плоскости можно рассматривать как тригонометрические функции мнимого аргумента, поэтому и здесь имеет место связь с логарифмом Шаблон:Sfn:

<math>\operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1})</math> — обратный гиперболический синус

<math>\operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left( z+\sqrt{z^{2}-1} \right)</math> — обратный гиперболический косинус

<math>\operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)</math> — обратный гиперболический тангенс

<math>\operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)</math> — обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк

Шаблон:Main

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифмаШаблон:Sfn. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить <math>\log(-x) = \log(x)</math>, в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной. Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием комплексного анализа, исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функцииШаблон:Sfn, определяемой как интеграл от <math>\frac{1}{z}</math>. Риман, опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей.

Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии, возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм.

Литература

Теория логарифмов

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

История логарифмов

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга