Русская Википедия:Комплекс Кошуля
Комплекс Кошуля был впервые введён в математике Шаблон:Нп5, чтобы определить теорию когомологий алгебр Ли. Впоследствии он оказался полезной общей конструкцией гомологической алгебры. Его гомологии могут быть использованы для того, чтобы определить, является ли последовательность элементов кольца Шаблон:Нп5, и, как следствие, он может быть использован ля того, чтобы доказать базовые свойства Шаблон:Нп5 модуля или идеала.
Определение
Пусть R — коммутативное кольцо и E — свободный R-модуль конечного ранга r. Мы обозначаем через <math>\wedge^i E</math> i-ю внешнюю степень E. Тогда для R-линейного отображения <math>s: E \to R</math> комплекс Кошуля, ассоциированный с s — это цепной комплекс R-модулей
- <math>K_{\bullet}(s): 0 \to \wedge^r E \overset{d_r} \to \wedge^{r-1} E \to \cdots \to \wedge^1 E \overset{d_1}\to R \to 0,</math>
в котором дифференциал dk задаётся по правилу: для любых ei из E
- <math>d_k (e_1 \wedge \dots \wedge e_k) = \sum_{i=1}^k (-1)^{i+1} s(e_i) e_1 \wedge \cdots \wedge \widehat{e_i} \wedge \cdots \wedge e_k</math>
Надстрочный знак <math>\widehat{\cdot}</math> означает, что сомножитель пропускается.
Заметим, что <math>\wedge^1 E = E</math> и <math>d_1 = s</math>. Заметим также, что <math>\wedge^r E \simeq R</math>; этот изоморфизм не канонический (например, выбор формы объёма в дифференциальной геометрии — это пример такого изоморфизма).
Если E = Rr (то есть выбран базис), то задание R-линейного отображения s: Rr → R эквивалентно заданию конечной последовательности s1, …, sr элементов R (вектор-строки) и в этом случае обозначают <math>K_{\bullet}(s_1, \dots, s_r) = K_{\bullet}(s).</math>
Если M — конечно порождённый R-модуль, полагают
- <math>K_{\bullet}(s, M) = K_{\bullet}(s) \otimes_R M</math>.
i-е гомологии комплекса Кошуля
- <math>\operatorname{H}_i(K_{\bullet}(s, M)) = \operatorname{ker}(d_i \otimes 1_M)/\operatorname{im}(d_{i+1} \otimes 1_M)</math>
называются i-ми гомологиями Кошуля. Например, если E = Rr и <math>s = [s_1 \cdots s_r]</math> — вектор-строка из элементов R, то дифференциал комплекса Кошуля <math>d_1 \otimes 1_M</math> есть
- <math>s : M^r \to M, \, (m_1, \dots, m_r) \mapsto s_1 m_1 + \dots + s_r m_r</math>
и
- <math>\operatorname{H}_0(K_{\bullet}(s, M)) = M/(s_1, \dots, s_r)M = R/(s_1, \dots, s_r) \otimes_R M.</math>
Также
- <math>\operatorname{H}_r(K_{\bullet}(s, M)) = \{ m \in M : s_1 m = s_2 m = \dots = s_r m = 0 \} = \operatorname{Hom}_R(R/(s_1, \dots, s_r), M).</math>
Комплексы Кошуля малых размерностей
Если даны элемент x кольца R и R-модуль M, умножение на x даёт гомоморфизм R-модулей
- <math>M \to M.</math>
Если рассматривать его как цепной комплекс (сосредоточенный в степенях 1 и 0), он обозначается <math>K(x, M)</math>. Его гомологии равны
- <math>H_0(K(x, M)) = M/xM, H_1(K(x,M)) = Ann_M(x) = \{m \in M , xm = 0 \},</math>
Таким образом, комплекс Кошуля и его гомологии хранят основную информацию о свойствах умножения на x.
Цепной комплекс K•(x) называется комплексом Кошуля элемента x кольца R. Если x1, x2, …, xn — элементы R, комплекс Кошуля последовательности x1, x2, …, xn, обычно обозначаемый K•(x1, x2, …, xn), есть тензорное произведение <math> K_\bullet(x_1) \otimes K_\bullet(x_2) \otimes \cdots \otimes K_\bullet(x_n) </math> комплексов Кошуля для каждого i.
Комплекс Кошуля для пары <math>(x, y) \in R^2</math> имеет вид
- <math>
0 \to R \xrightarrow{\ d_2\ } R^2 \xrightarrow{\ d_1\ } R\to 0,
</math> где матрицы <math>d_1</math> и <math>d_2</math> задаются как
- <math>
d_1 = \begin{bmatrix} x & y\\ \end{bmatrix} </math> and
- <math>
d_2 = \begin{bmatrix} -y\\ x\\ \end{bmatrix}. </math> Тогда циклы степени 1 — это в точности линейные соотношения между элементами x и y, тогда как границы — это тривиальные соотношения. Первые гомологии Кошуля H1(K•(x, y)), таким образом, описывают соотношения по модулю тривиальных соотношений.
В случае, когда элементы x1, x2, …, xn образуют регулярную последовательность, все высшие гомологии Кошуля зануляются.
Пример
Если k — это поле, X1, X2, …, Xd — неизвестные и R — это кольцо многочленов k[X1, X2, …, Xd], комплекс Кошуля K•(Xi) последовательности Xi является конкретным примером свободной резольвенты R-модуля k.
Литература
- David Eisenbud, Commutative Algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol 150, Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94268-8
