Русская Википедия:Комплекс (математика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Компле́кс (от Шаблон:Lang-la — связь, сочетание) — одно из основных понятий комбинаторной топологии.

Комплексом называется частично упорядоченное правильным, рефлексивным и транзитивным отношением «<math><</math>» множество <math>K</math> каких-либо элементов <math>t</math>, вместе с некими функциями <math>\dim t</math> и <math>[t:t']</math>.

Целочисленная функция <math>\dim t</math> называется размерностью элемента <math>t</math>, функция <math>[t:t']</math> — коэффициентом инцидентности элементов <math>t</math> и <math>t'</math>. Эти функции должны удовлетворять следующим условиям:

1. из <math>t'<t</math> следует, что <math>\dim t'<\dim t</math>;
2. <math>[t:t']=[t':t]</math>;
3. из <math>[t:t']\neq0</math> следует, что либо <math>t'<t</math>, либо <math>t<t'</math>, и <math>|\dim t-\dim t'|=1</math>;
4. для любой пары элементов <math>t</math>, <math>t'</math> из <math>K</math>, для которых <math>|\dim t-\dim t'|=2</math>, в <math>K</math> найдётся не более, чем конечное число таких элементов <math>t</math>, что

<math>[t:t][t:t']\neq0</math> и <math>\sum_{t}[t:t][t:t']=0</math>.

Связанные определения

При замене <math>[t:t']</math> на <math>a(t)a(t')[t:t']</math>, где <math>a(t)</math> — функция со значениями ±1, получается комплекс, отождествляемый с <math>K</math>. Таким образом, коэффициенты инциденции <math>[t:t']</math> задаются с точностью до множителя <math>a(t)a(t')</math>. Переход от одного значения к другому называется переменой ориентации комплекса <math>K</math>.

Комплекс <math>K</math> называется конечномерным (<math>n</math>-мерным), если существует такое <math>n</math>, равное максимальной размерности симплексов из <math>K</math>; в противном случае, он называется бесконечномерным. Комплекс <math>K</math> называется конечным, если множество его элементов конечно.

Звездой элемента <math>t</math> комплекса <math>K</math> называется множество всех таких элементов <math>t'</math> из <math>K</math>, для которых выполняется условие <math>t'>t</math>.

Замыканием элемента <math>t</math> из <math>K</math> называется множество всех таких элементов <math>t'</math> из <math>K</math>, что <math>t'<t</math>.

Границей элемента <math>t</math> из <math>K</math> называется множество всех таких элементов <math>t'</math> из <math>K</math>, что одновременно <math>t'<t</math> и <math>t'\neq t</math>.

Элемент <math>t'</math> называется гранью элемента <math>t</math> из <math>K</math>, если <math>t'<t</math>. При <math>t'\neq t</math> грань <math>t'</math> элемента <math>t</math> называется истинной гранью.

Элементы <math>t</math> и <math>t'</math> из <math>K</math> называются инцидентными, если <math>t'<t</math> или <math>t<t'</math>.

Подкомплексом комплекса <math>K</math> называется любое подмножество множества <math>K</math>, являющееся комплексом при тех же размерностях и коэффициентах инцидентности, что и комплекс <math>K</math>.

Подкомплекс называется замкнутым, если он содержит замыкание каждого своего элемента, и открытым, если он содержит звезду каждого своего элемента. Дополнение замкнутого комплекса есть открытый комплекс, и наоборот. Звезда каждого элемента любого комплекса является открытым подкомплексом, а замыкание и граница — замкнутыми подкомплексами.

<math>r</math>-мерным остовом <math>K^r</math> комплекса <math>K</math> называется множество всех таких элементов <math>t</math> из <math>K</math>, что <math>\dim t\leqslant r</math>. Остов является замкнутым подкомплексом.

Комплексы <math>K={t}</math> и <math>L</math> называется изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение <math>f</math> множества <math>K</math> на множество <math>L</math>, что <math>\dim f(t)=\dim t</math> и <math>[t:t']=[f(t):f(t')]</math>:

<math>f\colon K\leftrightarrow L:\dim f(t)=\dim t\wedge[t:t']=[f(t):f(t')].</math>

Важнейшим типом комплекса является симплициальный комплекс.

Симплициальный комплекс имеет две разновидности:

• абстрактный комплекс;
• геометрический комплекс.