Русская Википедия:Комптоновская длина волны
Ко́мптоновская длина́ волны́ (Шаблон:Math) — параметр элементарной частицы: величина размерности длины, характерная для релятивистских квантовых процессов, идущих с участием этой частицы. Название параметра связано с именем А. Комптона и комптоновским эффектом.
Вычисление
Из опыта Комптона следует:
- <math>\lambda_C = \frac{h}{mc}</math>;
Здесь: <math>mc</math> — величина 4-вектора энергии-импульса покоящейся частицы.
Для электрона, Шаблон:Math ≈ 0,0242 Å ≈ 2,4263102367(11)Шаблон:E м;[1] для протона, Шаблон:Math ≈ 0,0000132 Å ≈ 1,32140985396(61)Шаблон:E м.[1]
Длина волны <math>\lambda_C</math> для покоящейся частицы массы <math>m</math> определяет период вращения амплитуды вероятности.[2], квадрат которой является вероятностью того, что частица переместится из одной точки 4-пространства-времени в другую. Для покоящейся частицы это перемещение происходит только во времени, но не в пространстве. Следовательно можно написать цепочку равенств:
- <math>\lambda_C = cT_0 = c\cdot{\frac{2\pi}{\omega_0}} = \frac{h}{mc}</math>;
Здесь: <math>\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}</math> — частота вращения амплитуды вероятности;
Из последних двух равенств вытекает:
- <math>E_0 = mc^2 = \hbar{\omega_0}</math>;
Где: <math>E_0</math> — энергия покоящейся частицы;
- <math>\hbar = \frac{h}{2\pi}</math>;
Приведённая комптоновская длина волны
В современной физике чаще употребляется приведённая комптоновская длина волны, которая меньше в 2Шаблон:Math раз. Приведённая комптоновская длина волны обратна комптоновскому волновому числу:
- <math>\overline{\lambda}_{C} = \frac {\lambda_{C}}{2 \pi} = \frac {\hbar}{m c}.</math>
Для электрона, Шаблон:Math ≈ 0,00386 Å ≈ 3,8615926764(18)Шаблон:E м;[1] для протона, Шаблон:Math ≈ 0,0000021 Å ≈ 2,10308910109(97)Шаблон:E м.[1]
В физике ядра и элементарных частиц также имеют важное значение (приведённые) комптоновские длины волн:
- пи-мезона: Шаблон:Math ≈ 1,46Шаблон:E м (характерное расстояние ядерных взаимодействий);
- W-бозона: Шаблон:Math ≈ 2,45Шаблон:E м (характерное расстояние слабых взаимодействий).
Приведённая комптоновская длина волны часто возникает в уравнениях квантовой механики и квантовой теории поля. Так, в релятивистском уравнении Клейна — Гордона для свободной частицы
- <math> \mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \left(\frac{m c}{\hbar} \right)^2 \psi </math>
эта величина (в квадрате) выступает как множитель в правой части. В таком же качестве она появляется и в уравнении Дирака:
- <math>i \gamma^\mu \partial_\mu \psi = \left( \frac{m c}{\hbar} \right) \psi .</math>
Хотя в традиционное представление уравнения Шрёдингера комптоновская длина волны в явном виде не входит, его можно преобразовать так, чтобы она «проявилась». Так, нестационарное уравнение Шрёдингера для электрона в водородоподобном атоме с зарядовым числом ядра Шаблон:Math
- <math> i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2\psi -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r} \psi</math>
можно разделить на <math>\hbar c</math> и переписать так, чтобы заменить элементарный заряд Шаблон:Math на постоянную тонкой структуры Шаблон:Math:
- <math>\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{1}{2} \left(\frac{\hbar}{m_e c} \right) \nabla^2\psi - \frac{\alpha Z}{r} \psi.</math>
В результате комптоновская длина волны электрона возникает как множитель в первом члене правой части.
В квантовой теории поля часто применяется упрощающая формулы естественная система единиц, в которой скорость света и постоянная Планка равны 1. В такой системе единиц комптоновская длина частицы просто обратна её массе: Шаблон:Math.
Происхождение названия
Название «комптоновская длина волны» связано с тем, что величина Шаблон:Math определяет изменение длины волны электромагнитного излучения в эффекте Комптона.
В квантовой теории поля
Частица, локализованная в области с линейными размерами не более Шаблон:Math, согласно соотношению неопределённостей имеет квантовомеханическую неопределённость в импульсе не менее Шаблон:Math и неопределённость в энергии не менее Шаблон:Math, что достаточно для рождения пар частиц-античастиц с массой Шаблон:Math. В такой области элементарная частица, вообще говоря, уже не может рассматриваться как «точечный объект», потому что часть времени она проводит в состоянии «частица + пары». В результате на расстояниях, меньших Шаблон:Math, частица выступает как система с бесконечным числом степеней свободы и её взаимодействия должны описываться в рамках квантовой теории поля — в этом фундаментальная роль параметра Шаблон:Math, определяющего минимальную погрешность, с которой может быть измерена координата частицы в её системе покоя. В частности, переход в промежуточное состояние «частица + пары», осуществляющийся за время Шаблон:Math, характерное для рассеяния света с длиной волны Шаблон:Math, при Шаблон:Math приводит к нарушению законов классической электродинамики в комптон-эффекте.
В действительности во всех случаях размер области, где частица перестаёт быть «точечным объектом», зависит не только от её комптоновской длины, но и от комптоновских длин других частиц, в которые данная частица может динамически превращаться. Но, например, для лептонов, не обладающих сильным взаимодействием, переход в другие состояния маловероятен (можно сказать, что он происходит редко или требует большого времени). Поэтому лептонная «шуба» из пар является как бы прозрачной, и во многих задачах лептоны с хорошей точностью могут рассматриваться как «точечные частицы». Для тяжёлого адрона, например нуклона Шаблон:Math, эффективный размер области, где начинает проявляться «шуба», значительно больше комптоновской длины нуклона и определяется комптоновской длиной самого лёгкого из адронов — пиона Шаблон:Math (заметим, что Шаблон:Math ≈ 7Шаблон:Math). В области с линейным размером порядка Шаблон:Math нуклоны с большой интенсивностью (из-за сильного взаимодействия) переходят в промежуточные состояния «нуклон + пионы», поэтому нуклонная «шуба», в отличие от лептонной, плотная.
Таким образом, эффективная область, где частица перестаёт проявляться как «точечная», определяется не только соответствующими комптоновскими длинами волн, но и константами взаимодействия данной частицы с другими частицами (полями).
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Шаблон:Wayback Fundamental Physical Constants — Complete Listing
- ↑ Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. Пер. с англ. — М,; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988 . — С. 26 — 33, 81 — 82, 111—112. 144 стр. -Б — ка «Квант». Вып. 66.
