Русская Википедия:Конгруэнтное число

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Rtriangle-mathsinegypt.svg
Треугольник с площадью 6, конгруэнтное число.

Конгруэ́нтное число — натуральное число, равное площади прямоугольного треугольника со сторонами, длины которых выражаются рациональными числамиШаблон:Sfn. Более общее определение включает все положительные рациональные числа с этим свойством[1].

Конгруэнтные числа образуют последовательность

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52… (Шаблон:OEIS)
Таблица конгруэнтного числа: n ≤ 120[2]
—: неконгруэнтное число
K: без квадрата Конгруэнтное число
Q: Конгруэнтное число с квадратным коэффициентом
n 1 2 3 4 5 6 7 8
— — — — K K K —
n 9 10 11 12 13 14 15 16
— — — — K K K —
n 17 18 19 20 21 22 23 24
— — — Q K K K Q
n 25 26 27 28 29 30 31 32
— — — Q K K K —
n 33 34 35 36 37 38 39 40
— K — — K K K —
n 41 42 43 44 45 46 47 48
K — — — Q K K —
n 49 50 51 52 53 54 55 56
— — — Q K Q K Q
n 57 58 59 60 61 62 63 64
— — — Q K K Q —
n 65 66 67 68 69 70 71 72
K — — — K K K —
n 73 74 75 76 77 78 79 80
— — — — K K K Q
n 81 82 83 84 85 86 87 88
— — — Q K K K Q
n 89 90 91 92 93 94 95 96
— — — Q K K K Q
n 97 98 99 100 101 102 103 104
— — — — K K K —
n 105 106 107 108 109 110 111 112
— — — — K K K Q
n 113 114 115 116 117 118 119 120
— — — Q Q K K Q

Например, 5 является конгруэнтным числом, поскольку оно является площадью треугольника со сторонами 20/3, 3/2 и 41/6. Таким же образом, число 6 является конгруэнтным, поскольку оно является площадью треугольника со сторонами 3,4 и 5. 3 не является конгруэнтным.

Если q является конгруэнтным числом, то s2q тоже является конгруэнтным для некоторого числа s (просто умножим каждую сторону треугольника на s), обратное тоже верно. Это приводит к наблюдению, что является ли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом, зависит только от его смежного класса в группе

<math>\mathbb{Q}^{*}/\mathbb{Q}^{*2}</math>.

Любой смежный класс в этой группе содержит в точности одно свободное от квадратов число, поэтому, когда говорят о конгруэнтных числах, имеют в виду только свободные от квадратов положительные целые числа.

Задача о конгруэнтном числе

Площадь прямоугольного треугольника через катеты выражается так:

<math>S=ab/2</math>

Требование прямоугольности треугольника выражается так:

<math>a^2 + b^2 = c^2</math>


где a, b — катеты треугольника, c — его гипотенуза. Задача определения, является ли натуральное число S конгруэнтным, сводится к поиску рационального решения этой системы уравнений.


Задача определения, является ли данное целое число конгруэнтным, носит имя задача о конгруэнтном числе. Задача (к 2012) пока не решена. Шаблон:Не переведено 5 даёт простой критерий проверки для определения, является ли число конгруэнтным, но этот результат основывается на гипотезе Бёрча — Свиннертон-Дайера, которая не доказана.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике, названная в честь Пьера Ферма, утверждает, что никакое квадратное число не может быть конгруэнтным. Однако, в виде утверждения, что любая разность (шаг) между последовательными членами арифметической прогрессии квадратов не является полным квадратом, этот факт был уже известен (без доказательства) Фибоначчи[3]. Любой такой шаг прогрессии является конгруэнтным числом, и любое конгруэнтное число является произведением шага прогрессии на квадрат рационального числа[4]. Однако определение, является ли число шагом прогрессии квадратов, является существенно более простой задачей, поскольку существует параметрическая формула, в которой необходимо проверить лишь конечное число значений параметров[5].

Связь с эллиптическими кривыми

Вопрос, является ли данное число конгруэнтным, оказывается эквивалентен условию, что некоторая эллиптическая кривая имеет положительный ранг[1]. Альтернативный подход к идее представлен ниже (и может быть найден во введении в работе Таннела).

Предположим, что a,b и c — числа (не обязательно положительные или рациональны), которые удовлетворяют следующим условиям:

<math>

\begin{matrix} a^2 + b^2 &=& c^2\\ \tfrac{1}{2}ab &=& n. \end{matrix} </math>

Положим x = n(a+c)/b и y = 2n2(a+c)/b2. Получим

<math>y^2 = x^3 -n^2x</math>

и y не равен 0 (если y = 0, то a = -c, так что b = 0, но (1/2)ab = n нулю не равно, противоречие).

Обратно, если x и y являются числами, удовлетворяющими уравнениям выше, и y не равен 0, положим a = (x2 — n2)/y, b = 2nx/y, и c = (x2 + n2)/y. Вычисления показывают, что эти три числа удовлетворяют двум уравнениям выше.

Соответствие между (a,b,c) и (x,y) обратимо, так что мы имеем взаимно-однозначное соответствие между решениями этих двух уравнений для a, b и c и решениями для x и y, где y не равен нулю. В частности, из формул для a, b и c следует, что для рационального n числа a, b и c рациональны тогда и только тогда, когда соответствующие x и y рациональны, и наоборот. (Мы также получаем, что a, b и c положительны тогда и только тогда, когда x и y положительны. Из уравнения y2 = x3 — xn2 = x(x2 — n2) заметим, что если x и y положительны, то x2 — n2 должно быть положительно, так что формула выше для a даст положительное число.)

Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда y2 = x3 — n2x имеет Шаблон:Не переведено 5 с неравным нулю y. Можно показать (как изящное следствие теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии), что только точки кручения этой эллиптической кривой имеют y, равное 0, откуда следует, что существование рациональных точек с ненулевым y эквивалентно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг.

Современное состояние

Множество работ посвящено классификации конгруэнтных чисел.

Например, известно[6], что для простого числа p выполняется следующее:

  • если p ≡ 3 (mod 8), то p не является конгруэнтным, но 2p является.
  • если p ≡ 5 (mod 8), то p является конгруэнтным.
  • если p ≡ 7 (mod 8), то p и 2p конгруэнтны.

Также известно[7], что в каждом из классов вычетов 5, 6, 7 (mod 8) и любого заданного k имеется бесконечно много свободных от нулей конгруэнтных чисел с k простыми множителями.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Книга
  2. ↑ Шаблон:OEIS
  3. ↑ Шаблон:Статья
  4. ↑ Шаблон:Статья
  5. ↑ Шаблон:Книга
  6. ↑ Шаблон:Статья
  7. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Конгруэнтное_число&oldid=10157031