Русская Википедия:Конгруэнция
Шаблон:Другие значения Конгруэнцией в общей алгебре называют отношение эквивалентности на алгебраической структуре (такой как группа, кольцо или векторное пространство), согласующееся с алгебраическими операциями, определёнными на указанной структуре. Согласованность означает, что выполнение операций над эквивалентными (относительно конгруэнции) элементами структуры даст также эквивалентные элементы. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую фактор-структуру со сходными операциями, носителем которой будет фактормножество, чьи элементы — классы эквивалентности исходной структуры по отношению к конгруэнции.
Основным примером конгруэнции является отношение сравнимости по модулю на множестве целых чисел. При заданном натуральном n (называемом модулем) говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю n, если разность a – b делится на n или, что равносильно, a и b дают при делении на n равные остатки. Если числа a и b сравнимы по некоторому модулю n это обозначается a ≡ b (mod n). Например, числа 37 и 57 сравнимы по модулю 10 (37 ≡ 57 (mod 10)), поскольку 37 – 57 = −20 делится на 10 (это эквивалентно тому, что 37 и 57 дают при делении на 10 один и тот же остаток 7). Свойства сравнимости по модулю показывают, что, во-первых, сравнимость — отношение эквивалентности, и, во-вторых, что оно согласовано как со сложением так и с умножением целых чисел: если a1 ≡ b1 (mod n) и a2 ≡ b2 (mod n), то a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n) и a1 · a2 ≡ b1 · b2 (mod n) для любых целых a1 , a2 , b1 , b2. Это значит, что над соответствующими классами эквивалентности — классами вычетов (по модулю n) — также выполнимы операции сложения и умножения, составляющие так называемую модульную арифметику: [a]n + [b]n = [a + b]n , [a]n · [b]n = [a · b]n ([x]n — класс целых чисел, сравнимых с числом x по модулю n). С точки зрения абстрактной алгебры это будет звучать так: сравнимость по модулю n есть конгруэнция на кольце целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>, порождающая фактор-кольцо <math>\mathbb{Z} \mathord{/} n\mathbb{Z}</math> — конечное кольцо вычетов по модулю n, — на котором выполняются операции модульной арифметики.
Определение
Отношение <math>\theta(x_1, \ldots, x_m)</math> на множестве <math>A</math> называется стабильным относительно <math>n</math>-арной операции <math>f</math>, определённой на этом множестве, если для любых элементов <math>a_{i1}, \ldots, a_{im}</math> (<math>i = 1, \ldots, n</math>) множества <math>A</math> из истинности отношений <math>\theta(a_{i1}, \ldots, a_{im})</math> (<math>i = 1, \ldots, n</math>) вытекает истинность отношения <math>\theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm}))</math>.
Отношение <math>\theta</math> называется конгруэнцией на алгебраической системе <math>\mathfrak A</math>, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы <math>\mathfrak{A}</math>. (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы <math>\mathfrak{A}</math>.)
Факторсистема
Шаблон:Main Для алгебраической системы <math>\mathfrak A = (A, \mathit\Phi, \mathit\Rho)</math> на фактормножестве <math>A / \theta</math> по конгруэнции <math>\theta \subseteq A^2</math> для всех операций <math>f_i \in \mathit\Phi</math> и отношений <math>r_i \in \mathit\Rho</math> естественным образом вводятся операции и отношения над соответствующими классами смежности:
- <math>f_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta) = [f_i(a_1, \dots, a_n)]_\theta</math>,
- <math>r_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_m]_\theta) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1, \dots, b_m)</math>.
Получающаяся система обозначается <math>\mathfrak{A} / \theta</math> и называется факторсистемой, а отображение <math>h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta</math>, определяемое правилом <math>h_\theta(a) = [a]_\theta</math> — каноническим эпиморфизмом.
Множество всех конгруэнций данной системы <math>\mathrm{Con}(\mathfrak{A})</math> образует полную решётку относительно операций объединения и пересечения, а также задает отношение включения:
- <math>\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b</math>.
Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы <math>\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A})</math> имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:
- <math>\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \hookrightarrow \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}</math>.
Литература
