Русская Википедия:Конечная p-группа
Группа называется конечной <math>p</math>-группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.
Основные свойства конечных p-групп
Пусть <math>P</math> — конечная <math>p</math>-группа, тогда
- P — нильпотентна.
- <math>|Z(P)|>1</math>, где <math>Z(P)</math> — центр группы P.
- Для любого <math>1\leq k <n</math> в <math>P</math> существует нормальная подгруппа порядка <math>p^k</math>.
- Если <math>H</math> нормальна в <math>P</math>, то <math>|H\cap Z(P)|>1</math>.
- <math>P'\leq \Phi(P)</math>.
- <math>P/\Phi(P)\cong E_{p^d}</math>.
Некоторые классы конечных p-групп
В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных <math>p</math>-групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.
p-группы максимального класса
Конечная <math>p</math>-группа порядка <math>p^n</math> называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна <math>n-1</math>.
Если <math>P</math> — конечная <math>p</math>-группа максимального класса, то <math>P'=\Phi(P)</math> и <math>|Z(P)|=p</math>.
Единственными 2-группами порядка <math>2^n</math> максимального класса являются: диэдральная группа <math>D_{2^n}</math>, обобщённая группа кватернионов <math>Q_{2^n}</math> и полудиэдральная группа <math>SD_{2^n}</math>.
В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.
p-центральные p-группы
Конечная <math>p</math>-группа называется <math>p</math>-центральной, если <math>\Omega_1(P)\leq Z(P)</math>. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной <math>p</math>-группы.
Мощные p-группы
Конечная <math>p</math>-группа называется мощной, если <math>[P,P]\leq P^p</math> при <math>p\neq 2</math> и <math>[P,P]\leq P^4</math> при <math>p=2</math>. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию <math>p</math>-центральной <math>p</math>-группы.
Регулярные p-группы
Конечная <math>p</math>-группа <math>P</math> называется регулярной, если для любых <math>x,y\in P</math> выполнено <math>(xy)^p=x^p y^p c^p</math>, где <math>c\in P'</math>. Регулярными будут, например, все абелевы <math>p</math>-группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.
- Любая подгруппа и факторгруппа регулярной <math>p</math>-группы регулярна.
- Конечная <math>p</math>-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
- Конечная <math>p</math>-группа порядка не большего <math>p^p</math> является регулярной.
- Конечная <math>p</math>-группа класс нильпотентности которой меньше <math>p</math> является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при <math>p>2</math>.
- Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.
Конечные p-группы небольших порядков
Число различных <math>p</math>-групп порядка <math>p^n</math>
- Число неизоморфных групп порядка <math>p</math> равно 1: группа <math>C_{p}</math>.
- Число неизоморфных групп порядка <math>p^2</math> равно 2: группы <math>C_{p^2}</math> и <math>C_{p}\times C_{p}</math>.
- Число неизоморфных групп порядка <math>p^3</math> равно 5, из них три абелевы группы: <math>C_{p^3}</math>, <math>C_{p^2}\times C_{p}</math>, <math>C_{p}\times C_{p}\times C_{p}</math> и две неабелевы: при <math>p>2</math> — <math>E_{p^3}^+</math> и <math>E_{p^3}^-</math>; при p = 2 — <math>D_4</math>, <math>Q_8</math>.
- Число неизоморфных групп порядка <math>p^4</math> равно 15 при <math>p>2</math>, число групп порядка <math>2^4</math> равно 14.
- Число неизоморфных групп порядка <math>p^5</math> равно <math>2p + 61 + 2GCD(p-1,3) + GCD(p-1,4)</math> при <math>p\geq 5</math>. Число групп порядка <math>2^5</math> равно 51, число групп порядка <math>3^5</math> равно 67.
- Число неизоморфных групп порядка <math>p^6</math> равно <math>3p^2 + 39p + 344 + 24GCD(p-1,3)+ 11GCD(p-1,4)+ 2GCD(p-1,5)</math> при <math>p\geq 5</math>. Число групп порядка <math>2^6</math> равно 267, число групп порядка <math>3^6</math> равно 504.
- Число неизоморфных групп порядка <math>p^7</math> равно <math>3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)</math> при <math>p>5</math>. Число групп порядка <math>2^7</math> равно 2328, число групп порядка <math>3^7</math> равно 9310, число групп порядка <math>5^7</math> равно 34297.
p-группы порядка <math>p^n</math>, асимптотика
При <math>n\rightarrow\infty</math> число неизоморфных групп порядка <math>p^n</math> асимптотически равно <math>p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}</math>.
Знаменитые проблемы теории конечных p-групп
Группа автоморфизмов конечной p-группы
Для групп <math>p</math>-автоморфизмов конечной <math>p</math>-группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:
- Пусть <math>P</math> является нециклической <math>p</math>-группой порядка <math>|P|\geq p^3</math>, тогда <math>|P|\leq |Syl_p(Aut(P))|</math>.
Эта гипотеза подтверждена для обширного класса <math>p</math>-групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более <math>p^7</math>, групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.
Гипотеза Хигмена
Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка <math>q</math> нильпотентна.
- Пусть группа <math>P</math> обладает регулярным автоморфизмом простого порядка <math>q</math>. Тогда её класс нильпотентности равен <math>cl(P)=\frac{q^2-1}{4}</math>.
Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: <math>cl(P) < q^q</math> (Кострикин, Крекнин).
Ослабленная гипотеза Бернсайда
Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с <math>m</math> образующими и периодом <math>n</math> (то есть все её элементы <math>x</math> удовлетворяют соотношению <math>x^n=1</math>), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через <math>B(m,n)</math>. Тогда все другие группы с таким же свойством будут её факторгруппами. Действительно, как легко показать группа <math>B(m,2)</math> является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы <math>B(m,3)</math> равен <math>3^{\frac{m(m^2+5)}{6}}</math>. Однако, как показали Новиков и Адян, при <math>m\geq 2</math> и при любом нечётном <math>n\geq 4381</math> группа <math>B(m,n)</math> бесконечна.
Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных <math>m</math>-порождённых групп периода <math>n</math> ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных <math>p</math> групп она означает, что существует лишь конечное число <math>p</math> групп данной экспоненты и с данным числом образующих.
Нерегулярные p-группы
Классификация нерегулярных p-групп порядка <math>p^{p+1}</math>.
Литература
- Белоногов В. А. Задачник по теории групп — Шаблон:М: Наука, 2000.
- Шаблон:Книга
- Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — Шаблон:М, 1962.
- Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
- Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
- Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
- Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
- Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
- Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
- Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
- Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
- Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.
Ссылки
