Русская Википедия:Конечное кольцо
Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо, содержащее конечное число элементов (которое называется порядком кольца). Другими словами, это (непустое) конечное множество <math>R</math>, на котором определены операции сложения и умножения, причём относительно сложения <math>R</math> образует коммутативную конечную группу, а умножение связано со сложением обычными распределительными законами. Существование единицы и коммутативность умножения в кольце не всегда имеют место, могут также существовать делители нуля.
Количество колец небольших порядков приведено в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей[1].
Примеры конечных колец
- Самым простым примером является тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Любое кольцо содержит тривиальное подкольцо. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицейШаблон:Sfn. Все остальные конечные кольца называются нетривиальными.
- Классическим примером конечного кольца является <math>\Z_n</math> — кольцо вычетов по некоторому натуральному модулю <math>n</math>. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число <math>n</math> простоеШаблон:Sfn. Если же число <math>n</math> составное, то в кольце <math>\Z_n</math> существуют делители нуля. Например множество <math>\{0;\ 2;\ 4;\ 6\}</math> с операциями сложения и умножения по модулю 8 даёт пример кольца без единицы и с делителями нуля: <math>2 \cdot 4 = 4 \cdot 6 = 0.</math> Кольца вычетов важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения [[p-адическое число|Шаблон:Mvar-адических чисел]]. Это кольцо коммутативно, но кольцо квадратных матриц заданного порядка, элементы которых — классы вычетов по модулю <math>n</math>, уже не коммутативно.
- Кольцо подмножеств конечного множества <math>X</math> — это кольцо, элементами которого являются подмножества в <math>X</math>. В качестве операции сложения выступает симметрическая разность, а в роли умножения выступает пересечение множеств:
- <math>A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A)</math>
- <math>A \cdot B = A \cap B</math>
- Выполнение аксиом кольца легко проверяется. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё <math>X</math>. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть <math>A\cdot A = A</math>. Любой элемент является своим обратным по сложению: <math>A+A=0.</math> Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности, для построения теории вероятностейШаблон:Sfn.
- Каждое конечное поле или конечное тело одновременно является конечным кольцом.
Некоторые свойства
В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. В самом деле, пусть <math>a</math> — ненулевой элемент кольца порядка <math>n</math>; составим произведения <math>a</math> на все ненулевые элементы кольца: <math>aa_1 \dots aa_{n-1}</math>. Если среди этих произведений есть единица, то элемент обратим, а если нет, то либо одно из произведений равно нулю, либо какие-то два произведения равны: <math>aa_i=aa_k,</math> или <math>a(a_i-a_k)=0.</math> В обоих случаях <math>a</math> — делитель нуля, ч. т. д.
Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы следует из того же рассуждения).
Кольцо <math>R</math> с нетривиальным умножением (у которого не все произведения элементов <math>R</math> равны нулю) называется простым, если в нём нет двусторонних идеалов, кроме тривиального подкольца и самого <math>R</math>. Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов. Коммутативное кольцо <math>R</math> с единицей является полем тогда и только тогда, когда оно является простым кольцом.
Теоремы Веддербёрна
Малая теорема Веддербёрна утверждает, что всякое конечное тело является полем (то есть коммутативно по умножению)Шаблон:Sfn[2].
Натан Джекобсон позже обнаружил ещё одно условие, которое гарантирует коммутативность кольца: если для каждого элемента <math>a</math> из кольца <math>R</math> существует такое целое <math>n>1</math>, что <math>a^n=a</math>, то кольцо <math>R</math> коммутативноШаблон:Sfn. Обнаружены и другие признаки коммутативности колец[3].
Ещё одна теорема Веддербёрна: пусть <math>R</math> — простое кольцо с единицей и минимальными левыми идеалами. Тогда кольцо <math>R</math> изоморфно кольцу всех матриц порядка <math>n</math> над некоторым телом. При этом <math>n</math> определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела <math>D</math> кольцо <math>\mathrm{Mat}(D, n)</math> является простым кольцом. Это означает, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над некоторым конечным полемШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
