Русская Википедия:Конечномерное пространство
Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.
Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.
Свойства конечномерных пространств
Всякий элемент <math>x</math> конечномерного пространства <math>X</math> представим единственным образом в виде
- <math>x=a_1 e_1+a_2 e_2+...+a_n e_n,</math>
<math>a_1, a_2,...,a_n\in \mathbb P</math> где <math>\mathbb P</math> — поле (часто <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math>), над которым рассматривается пространство <math>X</math>, <math>e_1, e_2,...,e_n\in X</math> — элементы базиса. Это следует из определения базиса.
Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.
- Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
- Пусть <math>X</math> — конечномерное пространство и <math>\{x_1, x_2,...,x_k\}</math> — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
- Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
- В любом конечномерном пространстве над полем <math>\mathbb R</math> можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве <math>X</math> с фиксированным базисом, размерности <math>n</math>, можно ввести скалярное произведение по правилу:
<math>\forall x_1,x_2\in X, (x_1, x_2)=\sum_{k=1}^n a_k\cdot b_k</math>, где <math>\{a_k\},\{b_k\}</math> — компоненты векторов <math>x_1</math> и <math>x_2</math> соответственно.
Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем <math>\mathbb R</math> можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:- <math>X</math> — рефлексивное пространство[1].
- Пространство <math>X^*</math>, сопряжённое к некоторому конечномерному пространству <math>X</math>, конечномерно и его размерность совпадает с размерностью <math>X</math>.
- Для любого подпространства <math>M\subset X</math> конечномерного пространства <math>X</math> существует подпространство <math>M^\perp\subset X</math>[2] такое, что <math>\forall x\in M, \forall y\in M^\perp, x\perp y</math> и <math>X</math> разлагается в прямую сумму <math>M</math> и <math>M^\perp</math>, <math>X=M\oplus M^\perp</math>.
- В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
- Все нормы в конечномерном пространстве над полем <math>\mathbb R</math> эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
- Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
- Пространство <math>X</math> над полем <math>\mathbb R</math> является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор <math>I: X\rightarrow X</math> является вполне непрерывным.
- Пространство <math>X</math> является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над <math>X</math> обратимый вполне непрерывный оператор.
- Пространство <math>X</math> является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в <math> X</math> предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство <math>X</math> является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в <math> X</math> множество предкомпактно.
- Всякий линейный оператор <math>A:X\rightarrow Y</math>, определённый в конечномерном пространстве <math>X</math> является непрерывным и даже вполне непрерывным.
- В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.
Примеры
- Евклидово пространство <math>\mathbb E^3</math> имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов
- <math>\left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \}</math>
Более общий случай — пространства <math>\mathbb R^n</math> размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов (<math>1\leq p <\infty</math>):
- <math>\|x\|_p = \sqrt[p] {\sum_{i=1}^n{|x_i|^p}}</math> или <math>\|x\|_\infty = \max_{i=1,2,\dots,n}{|x_i|}.</math>
Если ввести норму <math>\|x\|_2</math> и скалярное произведение <math>(x,y) = {\sum_{i=1}^n{x_i y_i}},</math> то пространство будет евклидовым.
- <math>P^n</math> — пространство всех многочленов степени не выше <math>n</math>. Размерность этого пространства <math>n+1</math>. Многочлены <math>1, x, x^2,..., x^n</math> образуют в нём базис.
- Пусть <math>X</math> — произвольное линейное пространство и пусть <math>\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Это факт можно получить как при помощи теоремы Рисса-Фреше, так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.
- ↑ <math>M^\perp</math> часто называют ортогональным дополнением к <math>M</math>
