Русская Википедия:Конечнопорождённая абелева группа
Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, заданная конечной системой образующих, то есть такая коммутативная группа <math>(G, +)</math>, для которой существует конечный набор <math>x_1, \dots, x_s \in G</math>, такой что <math>\forall x \in G</math> существует представление:
- <math>x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_s x_s</math>,
где <math>n_1,\dots, n_s</math> — целые числа.
Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, возможность свести к ним рассмотрение тех или иных объектов считается ценной. Примеры — целые числа <math>(\Z, +)</math> и числа по модулю <math>(\Z_n, +)</math>, любая прямая сумма конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой. Согласно теореме о классификацииШаблон:Переход, других (с точностью до изоморфизма) конечнопорождённых абелевых групп нет. Например, группа <math>(\Q, +)</math> рациональных чисел не является конечнопорожденной: если бы существовала порождающая система <math>x_1, \dots, x_s \in \Q</math>, то достаточно было бы взять натуральное число <math>w</math>, взаимно простое со всеми знаменателями чисел из системы, чтобы получить <math>1/w</math>, не порождаемое системой <math>\{x_1, \dots, x_s\}</math>.
Классификация
Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп (являющаяся частным случаем классификации конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов) утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа <math>G</math> изоморфна прямой сумме простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида:
- <math>\Z^n \oplus \Z_{m_1} \oplus \dots \oplus \Z_{m_t}</math>,
где <math>n \geqslant 0</math>, и числа <math>m_1, \dots, m_t</math> являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения <math>n, m_1, \dots, m_t</math> однозначно определены (с точностью до порядка) группой <math>G</math>, в частности, <math>G</math> конечна тогда и только тогда, когда <math>n = 0</math>.
На основании того факта что <math>G_m</math> будет изоморфно произведению <math> G_j </math> и <math> G_k </math> тогда и только тогда, когда <math>j</math> и <math>k</math> взаимно просты и <math>m = j k</math>, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу <math>G</math> в форме прямой суммы
- <math>\Z^n \oplus \Z_{k_1} \oplus \dots \oplus \Z_{k_u}</math>,
где <math>k_1</math> делит <math>k_2</math>, который делит <math>k_3</math> и так далее до <math>k_u</math>. И снова, числа <math>n</math> и <math>k_1, \dots, k_u</math> однозначно заданы группой <math>G</math>.
Литература
