Русская Википедия:Конечнопорождённый идеал

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Нет ссылок Конечнопорождённым идеалом <math>I</math> ассоциативного кольца <math>R</math> называется такой идеал, который порождается конечным числом своих элементов.

В случае, когда <math>R</math> — кольцо с единицей, конечнопорождённость для одностороннего (например, правого) идеала <math>I</math> кольца <math>R</math> означает, что существует конечное множество элементов <math>i_1, \ldots, i_n\in I</math> таких, что любой элемент из <math>I</math> представим в виде суммы <math>i_1a_1+\ldots+i_na_n</math>, где <math>a_1,\ldots, a_n\in R</math> — какие-то элементы кольца. Это определение полностью соответствует определению конечнопорождённого модуля над кольцом, если рассматривать правый идеал <math>I</math> как правый модуль над кольцом <math>R</math>. Соответственно, двусторонний идеал будет конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов <math>i_1, \ldots, i_n\in I</math> таких, что любой элемент из <math>I</math> представим в виде суммы <math>a_1i_1b_1+\ldots+a_ni_nb_n</math>, где <math>a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n\in R</math>  — какие-то элементы кольца <math>R</math>.

В общем случае, когда кольцо <math>R</math> не обязательно содержит единицу, правый идеал является конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов <math>i_1, \ldots, i_n\in I</math> таких, что любой элемент из <math>I</math> представим в виде суммы <math>i_1a_1+\ldots+i_na_n+m_1i_1+\ldots+m_ni_n</math>, где <math>a_1, \ldots, a_n\in R</math> — какие-то элементы кольца, <math>m_1, \ldots, m_n\in\mathbb{Z}</math>. Двусторонний идеал называется конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов <math>i_1, \ldots, i_n\in I</math> таких, что любой элемент из <math>I</math> представим в виде суммы <math>a_1i_1b_1+\ldots+a_ni_nb_n+c_1i_1+\ldots+c_ni_n+i_1d_1+\ldots+i_nd_n+m_1i_1+\ldots+m_ni_n</math>, где <math>a_1, \ldots, a_n,b_1, \ldots, b_n,c_1, \ldots, c_n,d_1, \ldots, d_n\in R</math> — какие-то элементы кольца <math>R</math>, <math>m_1, \ldots, m_n\in\mathbb{Z}</math>.

См. также

• Идеал