Русская Википедия:Конечно порождённое расширение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Коне́чно порождённое расшире́ние по́ля <math>K</math> — расширение <math>E</math> поля <math>K</math>, такое, что в <math>E</math> существуют элементы <math>\alpha_1, \dots, \alpha_n</math> такие, что <math>E=K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)</math>. Элементы <math>E</math> суть алгебраические дроби <math>\frac{f(\alpha_1,\dots,\alpha_n)}{g(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}</math>, где <math>f</math> и <math>g</math> — многочлены. Если <math>n=1</math>, то расширение <math>K(\alpha)</math> называется простым.

Свойство конечно порождённых расширений

Если конечно порождённое расширение <math>E=K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)</math> алгебраично над <math>K</math>, то оно конечно.

Для простого алгебраического расширения <math>E=K(\alpha)</math> это следует из того, что множество значений многочленов от <math>\alpha</math> <math>K[\alpha]</math> является не только кольцом, но и полем. Действительно, пусть <math>g(\alpha)\ne 0</math>. Тогда многочлен <math>g(x)</math> не делится на <math>p(x)</math> — минимальный многочлен <math>\alpha</math> над <math>K</math>. Но <math>p(x)</math> — неприводимый многочлен, значит <math>g(x)</math> и <math>p(x)</math> взаимно просты. Отсюда следует, что существуют такие многочлены <math>a(x)</math> и <math>b(x)</math> над <math>K</math>, что <math>a(x)p(x)+b(x)g(x)=1</math>. Подставляя в это равенство <math>\alpha</math> имеем <math>b(\alpha)g(\alpha)=1</math>, то есть <math>g(\alpha)</math> обратим и <math>K[\alpha]</math> является искомым полем <math>K(\alpha)</math>. Таким же образом деля <math>f(x)</math> на <math>p(x)</math> получаем, что если <math>p(x)</math> имеет степень <math>n</math>, то <math>[E:K]=n</math>

Для расширения от нескольких элементов имеем: <math>K(\alpha_1,\alpha_2,\ldots\alpha_n)=K(\alpha_1)(\alpha_2)\ldots(\alpha_n)</math>. Элементы <math>\alpha_i</math> будучи алгебраическими над <math>K</math> остаются таковыми и над большим полем <math>K(\alpha_1)\ldots(\alpha_{i-1})</math>. Далее применяем теорему о башне конечных расширений.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967