Русская Википедия:Конечные разности
Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании.
Определение
Пусть для некоторой точки <math>x_0</math> задано <math>n+1</math> узлов интерполяции <math>x_k = x_0 + hk, \; k = 0,\ldots,n</math> с шагом <math>h=\mathrm{const}</math> и известны значения функции <math>f</math> в этих узлах:
- <math>f(x_0) = y_0, \ldots, f(x_n)=y_n.</math>
Тогда восходящей конечной разностью (или разностью вперёд) 1-го порядка называют разность между <math>(k+1)</math>-м и <math>k</math>-м значениями <math>f</math> в узлах интерполяции, то естьШаблон:Sfn
- <math>\Delta y_k=y_{k+1}-y_k = f(x_{k+1}) - f(x_k),\ k=0,\ldots,n-1.</math>
Нисходящей конечной разностью (или разностью назад) 1-го порядка называют разность между <math>k</math>-м и <math>(k-1)</math>-м значениями <math>f</math> в узлах интерполяции, то естьШаблон:Sfn
- <math>\nabla y_k=y_k - y_{k-1} = f(x_k) - f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots,n.</math>
Центральной (или симметричной) конечной разностью 1-го порядка называют разность между <math>(k+1)</math>-м и <math>(k-1)</math>-м значениями <math>f</math> в узлах интерполяции, то естьШаблон:Sfn
- <math>\delta \, y_k=y_{k+1}-y_{k-1} = f(x_{k+1}) - f(x_{k-1}),\ k=1,\ldots,n-1.</math>
Разности высших порядков
Восходящей конечной разностью 2-го порядка называют разность между <math>(k+1)</math>-ой и <math>k</math>-ой конечными разностями 1-го порядка, то есть
- <math>\Delta^2y_k= \Delta(\Delta y_k) = \Delta y_{k+1} - \Delta y_k = f(x_{k+2}) - 2 f(x_{k+1}) + f(x_{k}),\ k=0,\ldots,n-2.</math>
Соответственно, восходящей конечной разностью порядка <math>m</math> (для <math>m \leq n</math>) называют разность между <math>(k+1)</math>-ой и <math>k</math>-ой конечными разностями порядка <math>m-1</math>, то естьШаблон:Sfn
- <math>\Delta^my_k= \Delta(\Delta^{m-1} y_k) = \Delta^{m-1}y_{k+1} - \Delta^{m-1}y_k,\ k=0,\ldots,n-m.</math>
Аналогично определяются нисходящие и центральные разности высших порядковШаблон:Sfn:
- <math>\nabla^m y_k = \nabla(\nabla^{m-1} y_k),</math>
- <math>\delta^m y_k = \delta(\delta^{m-1} y_k).</math>
Через операторы
Если ввести оператор смещения <math>\operatorname{E}</math> такой, что <math>\operatorname{E}y_k=y_{k+1}</math>, то можно определить оператор восходящей конечной разности <math>\Delta</math> как <math>\operatorname{E}-1</math>. Для него справедливо соотношение
- <math>\Delta^k=(\operatorname{E}-1)^k</math>,
которое можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления <math>\Delta</math> заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков[1].
Общие формулы
Часто также используется другое обозначение: <math>\Delta^m_h (f, x)</math> — восходящая конечная разность порядка <math>m</math> от функции <math>f</math> c шагом <math>h</math>, взятая в точке <math>x</math>. Например, <math>\Delta^1_h (f, x) = f(x+h) - f(x)</math>. Аналогично, для нисходящих разностей можно использовать обозначение <math>\nabla^m_h (f, x)</math>, а для центральных — <math>\delta^m_h (f, x)</math>.
В этих обозначениях можно записать общие формулы для всех видов конечных разностей произвольного порядка с использованием биномиальных коэффициентовШаблон:Sfn:
- <math>\Delta^m_h(f,x) = \sum_{i = 0}^{m} (-1)^{m-i} C_m^i f\bigl(x + i h\bigr),</math>
- <math>\nabla^m_h(f,x) = \sum_{i = 0}^{m} (-1)^i C_m^i f(x - ih),</math>
- <math>\delta^m_h(f,x) = \sum_{i = 0}^{m} (-1)^i C_m^i f\left(x + \left(\frac{m}{2} - i\right) h\right).</math>
Общая формула для <math>\Delta^m_h(f,x)</math> используется при построении интерполяционного многочлена Ньютона.
Пример
На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления конечных разностей для
- <math> \begin{array}{rcl}
f(x) &= &2x^3 - 2x^2 + 3x - 1, \\ x_0 &= &0, \\ n &= &3, \\ h &= &1. \end{array} </math> В зелёных клетках расположены значения <math>y_0,\ldots,y_n</math>, в каждой последующей строке приводятся конечные разности соответствующего порядка.
Связь с производными
Производная функции <math>f</math> в точке <math>x</math> определяется с помощью предела:
- <math> f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. </math>
Под знаком предела стоит восходящая конечная разность <math>\Delta_h^1(f,x)</math>, делённая на шаг. Следовательно, эта дробь аппроксимирует производную при малых значениях шага. Погрешность приближения может быть получена с использованием формулы ТейлораШаблон:Sfn:
- <math> \frac{\Delta_h^1(f,x)}{h} - f'(x) = O(h)\to 0, \; h \to 0. </math>
Аналогичное соотношение выполняется для нисходящей разности:
- <math> \frac{\nabla_h^1(f,x)}{h} - f'(x) = O(h)\to 0, \; h \to 0. </math>
Центральная разность даёт более точное приближение:
- <math> \frac{\delta_h^1(f,x)}{h} - f'(x) = O\left(h^2\right), \; h \to 0. </math>
Конечные разности порядка <math>m</math>, делённые на шаг, возведённый в степень <math>m</math>, аппроксимируют производную порядка <math>m</math>. Порядок погрешности приближения при этом не меняетсяШаблон:Sfn:
- <math>\frac{d^m f}{d x^m}(x) = \frac{\Delta_h^m(f,x)}{h^m}+O(h) = \frac{\nabla_h^m(f,x)}{h^m}+O(h) = \frac{\delta_h^m(f,x)}{h^m} + O\left(h^2\right).</math>
Связанные понятия
Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.
С конечными разностями также связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.
Примечания
Литература
См. также
- Коэффициенты формул численного дифференцирования
- Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения
- Метод конечных разностей
- Интерполяционные формулы Ньютона
- Разделенная разность
- Биномиальные преобразования
