Русская Википедия:Константа Коморника — Лорети

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Грубый перевод В математической Шаблон:Iw счисления константа Коморника — Лорети — это математическая константа, представляющая наименьшее основание q, для которого число 1 имеет уникальное представление, называемое его q-разверткой. Константа названа в честь Вилмоса Коморника и Паолы Лорети, которые дали ей определение в 1998 году.

Определение

Для действительного числа <math>q > 1</math> ряд

<math>x = \sum_{n=0}^\infty a_n q^{-n}</math>

называется q-расширением или <math>\beta</math> -расширение, положительного действительного числа x, если для всех <math> n \geq 0</math>, <math> 0 \le a_n \le \lfloor q \rfloor</math>, где <math>\lfloor q \rfloor</math> — целая функция, а <math>a_{n}</math> не обязательно должно быть целым числом. Любое действительное число <math>x</math> такое, что <math> 0 \le x \le q \lfloor q \rfloor/(q-1)</math> имеет такое расширение, которое можно найти с помощью жадного алгоритма.

Особый случай: <math>x = 1</math>, <math>a_{0} = 0</math> и <math>a_{n} = 0</math> или <math>1</math> иногда называют q-разработкой. <math>a_n = 1</math> дает только 2-развертку. Однако почти для всех <math> 1 < q < 2</math> существует бесконечное количество различных q-разработок. Ещё более удивительно то, что существуют исключительные <math>q \in (1,2)</math>, для которых существует только одна q-разработка. Кроме того, существует наименьшее число <math>1 < q < 2</math>, известное как константа Коморника — Лорети, для которого существует уникальная q-развертка.

Значение

Константа Коморника — Лорети — это значение q, такое что

<math>1 = \sum_{k=1}^\infty \frac{t_k}{q^k}</math>

где <math>t_{k}</math> — последовательность Морса — Туэ, то есть <math>t_{k}</math> — четность числа единиц в двоичном представлении <math>k</math>. Имеет приблизительное значение

<math>q=1.787231650\ldots. \,</math>

Константа <math>q</math> также является единственным положительным вещественным корнем

<math>\prod_{k=0}^\infty \left ( 1 - \frac{1}{q^{2^k}} \right ) = \left ( 1 - \frac{1}{q} \right )^{-1} - 2.</math>

Эта константа трансцендентна.

См. также

• Постоянная Эйлера — Маскерони
• Последовательность Рудина — Шапиро
• Слово Фибоначчи