Русская Википедия:Константа Ландау — Рамануджана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математике Константа Ландау — Рамануджана является результатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел на числовой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау и Сринивасой Рамануджаном.

Теорема о плотности сумм двух квадратов

Если <math>N(x)</math> - число целых на отрезке <math>[1,\;x]</math>, которые являются суммой двух квадратов целых чисел, то

<math>N(x)=\frac{Cx}{\sqrt{\ln(x)}}(1+o(1)),</math>

где <math>C</math> — константа пропорциональности Ландау — Рамануджана:

<math>C=\lim_{x\to\infty}\frac{N(x)\sqrt{\ln(x)}}{x}\approx 0{,}764\;223\;653\;589\;220\;662\;990\;698\;731\;25.</math>

Точность приближения целого суммой двух квадратов

Из теоремы Ландау — Рамануджана следует, что при растущем <math>x</math> средняя ошибка приближения целого числа из интервала от 1 до <math>x</math> суммой двух квадратов целых чисел не менее <math>\frac{\sqrt{\ln(x)}}{2C}(1+o(1))</math>. Известная сегодня (2013) тривиальная оценка ошибки такого приближения сверху существенно больше — <math> O(x^{1/4})</math>. Со времен Эйлера существует гипотеза о том, что

<math>\min_{u,\;w\in\Z}|x-u^2-w^2|\leqslant x^\varepsilon,</math>

где <math>\varepsilon>0,\;\varepsilon</math> — любое, <math>x\geqslant x_1(\varepsilon)</math>.

Данная задача является обобщением проблемы Варинга.

Критерий возможности точного представления

Число <math>a</math> представимо в виде <math>s^2+t^2=a</math> (<math>s</math> и <math>t</math> - целые) тогда и только тогда, когда все простые числа вида <math>4k+3</math> входят в каноническое разложение числа с чётной степенью.

Этот результат впервые был получен Ферма, а доказан Эйлером.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:OEIS