Русская Википедия:Константа Чигера
Шаблон:Другие значения Изопериметрической константой Чигера компактного риманова многообразия M называется положительное вещественное число h(M), определяемое через минимальную площадь гиперповерхности, которая делит M на две непересекающиеся части равного объёма. В 1970-м году Шаблон:Не переведено 5 доказал неравенство, связывающее первое нетривиальное собственное число оператора Лапласа — Бельтрами на M с числом h(M). Это доказательство оказало большое влияние на риманову геометрию и способствовало созданию аналогичной концепции в теории графов.
Определение
Пусть M — n-мерное замкнутое риманово многообразие. Обозначим через V(A) объём произвольного n-мерного подмногообразия A; через S(E) обозначим n−1-мерный объём подмногообразия E (обычно в этом контексте его называют «площадью»). Тогда изопериметрическая константа Чигера многообразия M определяется как:
- <math> h(M)=\inf_E \frac{S(E)}{\min(V(A), V(B))}, </math>
где инфимум берётся по всем гладким n−1-мерным подмногообразиям E многообразия M, которые делят его на два непересекающихся подмногообразия A и B. Изопериметрическая константа может быть определена и для некомпактных римановых многообразий конечного объёма.
Неравество Чигера
Константа Чигера h(M) и наименьшее положительное собственное число оператора Лапласа <math>\scriptstyle{\lambda_1(M)}</math> связаны следующим фундаментальным неравенством, доказанным Чигером:
- <math> \lambda_1(M)\geq \frac{h^2(M)}{4}. </math>
Это неравенсво оптимально в следующем смысле: для любого h > 0, натурального числа k и ε > 0 существует двумерное риманово многообразие M с изопериметрической константой h(M) = h и такое, что k-ое собственное число оператора Лапласа находится на расстоянии не более ε от границы Чигера (Бузер, 1978).
Неравенство Бузера
Питер Бузер нашёл выражение для верхней границы <math>\scriptstyle{\lambda_1(M)}</math> через изопериметрическую константу h(M). Пусть M — n-мерное замкнутое риманово многообразие, кривизна Риччи которого ограничена сверху числом −(n−1)a2, где a ≥ 0.
Тогда:
- <math> \lambda_1(M)\leq 2a(n-1)h(M) + 10h^2(M).</math>
См. также
Ссылки
- Peter Buser, A note on the isoperimetric constant. — Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 15 (1982), no. 2, 213—230 Шаблон:MR
- Peter Buser, «Über eine Ungleichung von Cheeger». — Math. Z. 158 (1978), no. 3, 245—252. Шаблон:MR
- Джеф Чигер, A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian. — Problems in analysis (Papers dedicated to Salomon Bochner, 1969), pp. 195—199. Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970 Шаблон:MR
- Александр Любоцкий, Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. — Progress in Mathematics, vol 125, Birkhäuser Verlag, Basel, 1994
