Русская Википедия:Контактная структура

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности <math>M^{2n+1}</math>, состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

Определение

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы <math>\lambda</math>, что

<math>\lambda\wedge (d\lambda)^n \ne 0</math>

<math>\lambda</math> называется контактной формой. Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле <math>Y</math> на <math>M^{2n+1}</math> такое, что

<math>\lambda(Y)=1</math>

<math>d\lambda(Y, X)=0</math>

для любого векторного поля <math>X</math>.

Свойства

• Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
• На любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура.

• С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией.
  • Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Почти контактная структура

Пусть <math>M^{2n+1}</math> — нечётномерное гладкое многообразие <math>\dim M = 2n + 1</math>.

Почти контактной структурой на многообразии <math>M</math> называется тройка <math>(\eta ,\xi ,\Phi)</math> тензорных полей на этом многообразии, где <math>\eta</math> — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, <math>\xi</math> — векторное поле, называемое характеристическим, <math>\Phi</math> — эндоморфизм <math>TM</math>, называемый структурным эндоморфизмом. При этом

1. <math>\eta (\xi )=1</math>
2. <math>\eta \circ \Phi =0</math>
3. <math>\Phi (\xi )=0</math>
4. <math>\Phi^2=-id+\eta \otimes \xi</math>

Если, кроме того, на <math>M</math> фиксирована риманова структура <math>g = \langle\cdot , \cdot\rangle </math>, такая что

<math>\langle \Phi X,\Phi Y \rangle =\langle X,Y \rangle -\eta(X)\eta(Y)</math>

четвёрка <math>(\eta,\xi,\Phi,g)</math> называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.

Литература

• Шаблон:Книга
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия.