Русская Википедия:Континуальное распределение Гаусса
Континуальное распределение Гаусса было введено в квантовой теории поля как расширение понятия распределения Гаусса для конечномерных векторов на континуальные пространства скалярных и векторных полей. Континуальное распределение активно используется в аппарате функциональных интегралов.
Определение
Рассмотрим поле <math> \varphi_{i,j,k,\dots}(x_1,x_2,\dots) </math> из некоторого пространства <math> E </math>, определяемого условиями задачи (как правило, задача определяет условия вроде гладкости и убывания на бесконечности). В общем случае <math> \varphi_{i,j,k,\dots}(x_1,x_2,\dots) </math> имеет произвольное количество значков и аргументов. Обозначив множество значков поля как <math> I = (i,j,k,\dots) </math>, а набор аргументов как <math> X = (x_1, x_2, \dots) </math>, нормальной (Гауссовой) плотностью распределения назовём функционал
<math> \rho \left[ \varphi \right] = C \exp \left\{ -\frac{1}{2} \iint\limits_{\Omega^2} \! \mathrm{d} X_{1} \, \mathrm{d} X_{2} \, \varphi_{I_{1}} (X_{1}) \cdot K_{I_{1}, I_{2}}(X_{1}, X_{2}) \cdot \varphi_{I_{2}} (X_{2}) \right\} </math>,
где <math> \Omega </math> — область определения аргументов поля <math> X </math>, по наборам значков <math> I_1 </math> и <math> I_2 </math> подразумевается суммирование, <math> K_{I_{1}, I_{2}}(X_{1}, X_{2}) </math> — ядро некоторого дифференциально-интегрального оператора <math> K: E \longrightarrow E </math>, а <math> C </math> — нормировочная константа.
Это определение, как правило, записывают более коротко, опуская значки, аргументы и интегрирования:
<math> \rho \left[ \varphi \right] = C \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) \right\} = C \exp \left\{ -\frac{\varphi K \varphi}{2} \right\} </math>.
Средние значения
Пусть мы хотим вычислить среднее значение некоторой величины (функции состояния) <math> F[\varphi] </math>. Введём операцию усреднения <math> \langle \dots \rangle </math>
<math> \langle F \rangle = \int\limits_{E} \! \mathcal{D}\varphi \, \rho \left[ \varphi \right] F[\varphi] </math>
В правой части выражения написан функциональный (континуальный) интеграл (подробнее см. Функциональный интеграл).
Вычисление континуальных Гауссовых интегралов
Для континуальных Гауссовых интегралов работает обобщение формулы для n-мерных Гауссовых интегралов на континуальный случай:
<math> \int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\} = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\} </math>.
Условие и константа нормировки
Вводя условие нормировки
<math> \int \! \mathcal{D}\varphi \, \rho \left[ \varphi \right] = 1 </math>
и используя формулу из предыдущего пункта, получим
<math> C = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2} </math>.
См. также
Литература
