Русская Википедия:Континуанта

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Континуанта — определённый многочлен от нескольких переменных, связанный с цепными дробями.

Определения

Рекурентное

Континуанта индекса n есть многочлен <math>K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)</math>, определяемый рекуррентным соотношением:

<math>K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1,</math>

<math>K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-2}).</math>

Через определитель

Континуанта может быть также определена как определитель трёхдиагональной матрицы

<math>K_n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=

\det \begin{pmatrix} x_1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ -1 & x_2 & 1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 &x_n \end{pmatrix}.</math>

Свойства

• Континуанта <math>K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)</math> есть сумма всех одночленов, получаемых из одночлена <math>x_1\cdot\ldots\cdot x_n</math> вычеркиванием всевозможных непересекающих пар соседних переменных (правило Эйлера).
  • Пример:

    <math>K_5(x_1,\;x_2,\;x_3,\;x_4,\;x_5) = x_1 x_2 x_3 x_4 x_5\; +\; x_3 x_4 x_5\; +\; x_1 x_4 x_5\; +\; x_1 x_2 x_5\; +\; x_1 x_2 x_3\; +\; x_1\; +\; x_3\; +\; x_5.</math>

  • Следствие:

    Континуанты обладают зеркальной симметрией: <math>K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) = K_n(x_n,\;\ldots,\;x_1).</math>

• <math>K_n(1,\;\ldots,\;1) = F_{n+1}</math> — число Фибоначчи.
• Справедливо тождество:

  <math>\frac{K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}(x_3,\;\ldots,\;x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)}</math>

• В поле рациональных дробей

  <math>\frac{K_n(x_1,\;\ldots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)} = [x_1;\;x_2,\;\ldots,\;x_n] =

x_1 + \frac{1}{\displaystyle{x_2 + \frac{1}{x_3 + \ldots}}}</math> — цепная дробь.

• Справедливо матричное соотношение:

  <math>\begin{pmatrix} K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}) \\ K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n) & K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} x_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\times\ldots\times\begin{pmatrix} x_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>.

• • Откуда для определителей получается тождество:

    <math>K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\;\ldots,\;x_{n-1}) - K_{n-1}(x_1,\;\ldots,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n}) = (-1)^n.</math>

  • А также:

    <math>K_{n-1}(x_2,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\;\ldots,\;x_{n+2}) - K_n(x_1,\;\ldots,\;x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\;\ldots,\;x_{n+2}) = (-1)^{n+1} x_{n+2}.</math>

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга