Русская Википедия:Конфигурационное пространство (топология)
Конфигурационное пространство в топологии — множество наборов различных точек заданного топологического пространства.
Выделяют два типа конфигурационных пространств: пространство <math>\operatorname{Conf}_n(M)</math> упорядоченных наборов <math>n</math> различных точек данного пространства <math>M</math> и пространство <math>\operatorname{UConf}_n(M)</math> неупорядоченных наборов его <math>n</math> различных точек, где <math>n\geq 1</math>.
Введение
Понятие конфигурационного пространства естественно возникает во множестве областей математики и её приложений.
Конфигурационные пространства поверхностей, таких как евклидова плоскость <math>\R^2</math> и сфера <math>S^2</math>, тесно связаны с теорией косШаблон:Переход и пространствами модулей. Кроме того, конфигурационные пространства многообразий возникают в различных задачах алгебраической топологии и могут быть использованы для гомотопической аппроксимации пространств непрерывных отображенийШаблон:Переход. Широкие приложения допускает задача вычисления гомотопических типов конфигурационных пространств.
Например, пространство <math>\operatorname{Conf}_n(\R^3)</math> наборов различных точек евклидова пространства <math>\R^3</math> является естественным контекстом гравитационной задачи <math>n</math> тел. Так, существование периодических решений соответствующей гамильтоновой системы может быть получено путём изучения категории Люстерника — Шнирельмана и ряда Пуанкаре пространства петель <math>\Omega\operatorname{Conf}_n(\R^3)</math>Шаблон:Sfn.
Конфигурационные пространства возникают в задачах, известных под общим именем «Тринадцатая проблема Гильберта», а именно, в задаче представления (многозначных) алгебраических функций от нескольких переменных в виде композиции функций меньшего числа переменныхШаблон:Sfn. Классическим примером результата в данном направлении является утверждение о том, что при <math>n \geq 4</math> функция, сопоставляющая набору <math>(a_1,a_2,\ldots,a_n)</math> комплексных чисел множество из <math>n</math> корней многочлена
- <math>z^n + a_1z^{n-1}+\ldots+a_{n-1}z + a_n</math>,
не может быть представлена в виде композиции функций меньшего чем <math>n-1</math> числа переменныхШаблон:Sfn. В 1970 году Владимир Игоревич Арнольд предложил подход к этой задаче, основанный на подсчёте Шаблон:Нп5 конфигурационного пространства <math>\operatorname{Conf}_n(\R^2)</math> плоскости <math>\R^2</math>, и доказал данное утверждение в случае, если число <math>n</math> является степенью двойкиШаблон:Sfn.
Родственным к данному является естественное возникновение конфигурационных пространств в теории накрытий. Так, каждое <math>n</math>-листное накрытие <math>p \colon X \to Y</math> задаёт непрерывное отображение <math>Y \to \operatorname{UConf}_n(X)</math>, сопоставляющее точке <math>y \in Y</math> её полный прообраз <math>p^{-1}(y)</math>. Данное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп
- <math> p_*\colon \pi_1(Y) \to B_n(X)</math>,
где <math> B_n(X) := \pi_1(\operatorname{UConf}_n(X))</math> — так называемая группа кос топологического пространства <math>X</math>Шаблон:Переход. Этот гомоморфизм является важным инвариантом накрытия <math>p</math>Шаблон:Sfn.
Определение
Конфигурационное пространство упорядоченных наборов <math>n</math> различных точек топологического пространства <math>M</math> — это множество <math>n</math>-компонентных кортежей попарно различных элементов из <math>M</math>, то есть подмножествоШаблон:Sfn
- <math>\operatorname{Conf}_n(M) := \{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in M^n \mid x_i\neq x_j </math> для всех <math>i\neq j\}</math>
декартовой степени <math>M^n</math>, рассматриваемое с топологией, индуцированной с топологии произведения на <math>M^n</math>. Также используются обозначения <math>\operatorname{Conf}(M,n)</math>Шаблон:Sfn, <math>\mathcal{C}^n(M)</math>Шаблон:Sfn и <math>\mathbb{F}_n(M)</math>Шаблон:Sfn.
Конфигурационное пространство неупорядоченных наборов <math>n</math> различных точек топологического пространства <math>M</math> — это пространство <math>\operatorname{UConf}_n(M)</math> его <math>n</math>-элементных подмножествШаблон:Sfn. Иными словами, это факторпространство пространства <math>\operatorname{Conf}_n(M)</math> по отношению, при котором два кортежа эквивалентны, если один может быть получен из другого перестановкой компонент. Также используются обозначения <math>\operatorname{Conf}(M,n)/ S_n</math>Шаблон:Sfn, <math>\mathcal{UC}^n(M)</math>Шаблон:Sfn и <math>\mathbb{F}_n(M)/ S_n</math>Шаблон:Sfn.
В вырожденном случае <math>n=1</math> имеются равенства <math>\operatorname{Conf}_1(M) = \operatorname{UConf}_1(M) = M</math>.
В литературе также встречаются следующие модификации предыдущих конструкций.
Пространство конечных упорядоченных наборов различных точек топологического пространства <math>M</math> — это дизъюнктное объединение
- <math>\operatorname{Conf}_{<\infty}(M) := \coprod_{n \geq 0} \operatorname{Conf}_n(M)</math>.
Пространство конечных подмножеств топологического пространства <math>M</math> — это дизъюнктное объединение
- <math>\operatorname{UConf}_{<\infty}(M) := \coprod_{n \geq 0} \operatorname{UConf}_n(M)</math>.
Свойства
Конфигурационные пространства гомеоморфных топологических пространств гомеоморфны.
В случае, если <math>M</math> является топологическим многообразием (возможно, с непустым краем) размерности <math>m</math>, пространства <math>\operatorname{Conf}_n(M)</math> и <math>\operatorname{UConf}_n(M)</math> являются многообразиями размерности <math>n\cdot m</math>. Кроме того, если <math>M</math> связно и <math>m\ge 2</math>, то оба пространства <math>\operatorname{Conf}_n(M)</math> и <math>\operatorname{UConf}_n(M)</math> связныШаблон:Sfn.
Каноническая проекция <math>\pi\colon\operatorname{Conf}_n(M)\to\operatorname{UConf}_n(M)</math> совпадает с канонической проекцией на факторпространство пространства <math>\operatorname{Conf}_n(M)</math> по следующему действию симметрической группы:
- <math>\begin{align}
S_n\times \operatorname{Conf}_n(M)&\longrightarrow \operatorname{Conf}_n(M) \\
(\sigma,x)&\longmapsto \sigma(x)=(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots,x_{\sigma(n)})
\end{align}</math>. Поскольку данное действие непрерывно и вполне разрывно, отображение <math>\pi</math> является накрытием, причем регулярным. Число его листов равно порядку группы <math>S_n</math>, то есть <math>n!</math>.
Евклидовы пространства
Конфигурационные пространства некоторых евклидовых пространств можно описать в следующих элементарных терминах.
Прямая
Вещественная прямая <math>\R</math> гомеоморфна единичному интервалу <math>(0,1)</math>, поэтому для изучения структуры конфигурационных пространств прямой достаточно рассматривать конфигурационные пространства такого интервала. Они, в свою очередь, допускают следующие описания.
Каждый элемент пространства <math>\operatorname{UConf}_n((0,1))</math> неупорядоченных наборов <math>n</math> различных точек интервала <math>(0,1)</math> задаётся такой последовательностью <math>(s_1,s_2,\ldots,s_n)</math> вещественных чисел, что
- <math>0 < s_1 < s_2 < \ldots < s_n < 1</math>.
Непосредственно из его определения следует, что такая последовательность соответствует внутренней точке симплекса размерности <math>n</math>, причем данная кодировка непрерывно зависит от исходной последовательности. Таким образом, пространство <math>\operatorname{UConf}_n((0,1))</math> гомеоморфно внутренности <math>n</math>-мерного симплексаШаблон:Sfn. Например, пространство <math>\operatorname{UConf}_2((0,1))</math> гомеоморфно внутренности треугольника, а пространство <math>\operatorname{UConf}_3((0,1))</math> — внутренности тетраэдра.
Каждый неупорядоченный набор <math>n</math> различных точек единичного интервала <math>(0,1)</math> можно упорядочить ровно <math>n!</math> способами. Таким образом, пространство <math>\operatorname{Conf}_n((0,1))</math> гомеоморфно дизъюнктному объединению <math>n!</math> копий пространства <math>\operatorname{UConf}_n((0,1))</math>.
В частности, каждая компонента связности пространств <math>\operatorname{Conf}_n((0,1))</math> и <math>\operatorname{UConf}_n((0,1))</math> стягиваема. Более того, в обоих случаях множество конфигураций, в которых соседние точки (вместе с точками <math>0</math> и <math>1</math>) равноудалены друг от друга, является деформационным ретрактом объемлющего пространства: каждый «неровный» набор может быть деформирован в «ровный» путём равномерного расталкивания или сближения его элементов.
Пары точек в евклидовых пространствах
Пара <math>(x,y)</math> различных точек на плоскости <math>\R^2</math> однозначно определяется первой точкой <math>x \in \R^2</math> и вектором <math>y-x \in \R^2 \backslash \{0\}</math>, отвечающем за расположение второй точки относительно первой. Данная кодировка непрерывно зависит от исходной пары точек. Следовательно, конфигурационное пространство таких точек гомеоморфно произведению плоскости и проколотой плоскости:
- <math>\operatorname{Conf}_2(\R^2)\cong \R^2 \times \R^2 \backslash \{0\}</math>.
Данный подход обобщается на произвольное евклидово пространство <math>\R^m</math>. А именно, отображение <math>(x,y) \mapsto (x,y-x)</math> устанавливает гомеоморфизм
- <math>\operatorname{Conf}_2(\R^m) \cong \R^m \times (\R^m \backslash \{0\})</math>.
Стоит отметить, что в общем случае <math>n \geq 2</math> отображение
- <math>(x_1,x_2,\ldots,x_n) \mapsto (x_1,x_1-x_2,x_1-x_3,\ldots,x_1-x_n)</math>
устанавливает гомеоморфизмШаблон:Sfn
- <math>\operatorname{UConf}_n(\R^m) \cong \R^m \times \operatorname{Conf}_{n-1}(\R^m\backslash \{0\})</math>.
Похожую кодировку допускает пространство <math>\operatorname{UConf}_2(\R^m)</math> двухэлементных подмножеств евклидова пространства <math>\R^m</math>. Так, подобные подмножества <math>\{x,y\}</math> однозначно определяются своим центром масс <math>(x+y)/2 \in \R^m</math>, расстоянием <math>|x-y| \in (0,\infty)</math> и прямой, проходящей через эти точки, которая представляет собой элемент <math>\langle x-y\rangle \in \R P^{m-1}</math> Шаблон:Нп5 размерности <math>m-1</math>. Таким образом,
- <math>\operatorname{UConf}_2(\R^m)\cong \R^m \times (0,\infty) \times \R P^{m-1} \cong \R^{m+1} \times \R P^{m-1}</math>.
В частности, пространства <math>\operatorname{Conf}_2(\R^m)</math> и <math>\operatorname{UConf}_2(\R^m)</math> гомотопически эквивалентны, соответственно, пространствам <math>S^{m-1}</math> и <math>\R P^{m-1}</math>.
Плоскость
Конфигурационное пространство <math>\operatorname{UConf}_n(\mathbb{R}^2)</math> неупорядоченных наборов <math>n</math> различных точек плоскости <math>\R^2</math> допускает следующуюШаблон:Sfn интерпретацию в терминах многочленов без кратных корней, предложенную Владимиром Игоревичем Арнольдом в его работе 1970 годаШаблон:Sfn.
Отождествим плоскость <math>\R^2</math> с комплексной плоскостью <math>\mathbb{C}</math>. Множество всех приведённых многочленов степени <math>n</math> одной комплексной переменной, то есть многочленов вида
- <math>z^n + a_1 z^{n-1} + a_2 z^{n-2} + \ldots + a_{n-1}z + a_n</math>,
где <math>a_1,\ldots,a_n \in \mathbb{C}</math>, может быть отождествлено с произведением <math>\mathbb{C}^n</math>. Согласно основной теореме алгебры, сопоставление набору <math>(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> комплексных чисел многочлена
- <math>(z-x_1)(z-x_2)\cdot \ldots \cdot (z-x_n)</math>
задаёт сюръективное отображение произведения <math>\mathbb{C}^n</math> в пространство таких многочленов. В терминах предыдущего отождествления оно может быть задано формулой
- <math>(x_1,x_2,\ldots,x_n) \mapsto (p_1,p_2,\ldots,p_n)</math>,
где <math>p_k</math> — значение элементарного симметрического многочлена степени <math>k</math> от <math>n</math> переменных на кортеже <math>(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math>. Образом сужения этого отображения на конфигурационное пространство <math>\operatorname{Conf}_n(\mathbb{C})</math> является множество многочленов без кратных корней. Данное сужение индуцирует гомеоморфизм между конфигурационным пространством <math>\operatorname{UConf}_n(\mathbb{C})</math> и множеством приведённых многочленов степени <math>n</math> без кратных корней одной комплексной переменной.
Изучение свойств гомеоморфизма, обратного к указанному выше, является одной из основных тем в классической теории ГалуаШаблон:Sfn.
Тройки точек на плоскости
Конфигурационное пространство <math>\operatorname{UConf}_3(\mathbb{C})</math> трёхэлементных подмножеств комплексной плоскости и внутренность дополнения узла трилистника гомотопически эквивалентны. Данная гомотопическая эквивалентность может быть установлена следующим образомШаблон:Sfn.
Как отмечено выше, пространство <math>\operatorname{UConf}_3(\mathbb{C})</math> гомеоморфно пространству кубических приведённых многочленов одной комплексной переменной, не имеющих кратных корней: конфигурации <math>\{a,b,c\} \subset \mathbb{C}</math> соответствует многочлен
- <math>f(z) := (z-a)(z-b)(z-c) = z^3-(a+b+c)z^2+(ab+ac+bc)z-abc</math>.
Подпространство многочленов вида <math>z^3+pz+q</math>, где <math>p,q\in \mathbb{C}</math>, является деформационным ретрактом объемлющего пространства многочленов. А именно, искомая деформация многочленов переносит центр масс их корней в начало координат и задаётся формулой
- <math>f(z) \mapsto f_t(z) := f(z+t(a+b+c)/3)</math>.
Многочлен вида <math>z^3+pz+q</math> не имеет кратных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант <math>-4p^3-27q^2</math> не равен нулю. Поэтому пространство таких многочленов гомеоморфно подпространству
- <math>X := \{(p,q) \in \mathbb{C}^2 \mid 4p^3+27q^2 \neq 0\}</math>
пространства <math>\mathbb{C}^2</math>. Далее, пространство
- <math>Y := \{(p,q) \in \mathbb{C}^2 \mid 4p^3+27q^2\neq 0,\ |p|^2+|q|^2=1\}</math>
является деформационным ретрактом пространства <math>X</math>. А именно, искомая ретракция представляет собой «подкрученную» радиальную проекцию вида <math>(x,y) \mapsto (\lambda^2\cdot x, \lambda^3\cdot y)</math>, где <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> — определённая константаШаблон:Sfn.
Поскольку уравнение <math>4p^3+27q^2=0</math> высекает в трёхмерной сфере
- <math>S^3 = \{(p,q) \in \mathbb{C}^2 : |p|^2+|q|^2=1\}</math>
узел трилистникШаблон:Sfn, пространство <math>Y</math> совпадает со внутренностью его дополнения.
Сферы
Окружность
Конфигурационное пространство <math>\operatorname{Conf}_n(S^1)</math> окружности допускает следующее описание в терминах конфигурационного пространства <math>\operatorname{Conf}_{n-1}((0,1))</math> интервала.
Введём на окружности <math>S^1</math> координаты, отождествив её со стандартной единичной окружностью на комплексной плоскости. Тогда отображение
- <math>(z,s_1,\ldots,s_{n-1}) \mapsto (z,z\cdot e^{2\pi i s_1}, \ldots, z\cdot e^{2 \pi i s_{n-1}})</math>
осуществляет гомеоморфизм <math>S^1 \times \operatorname{Conf}_{n-1}((0,1)) \to \operatorname{Conf}_n(S^1)</math>. Таким образом, конфигурационное пространство упорядоченных наборов <math>n</math> различных точек окружности гомеоморфно произведению окружности и дизъюнктного объединения <math>(n-1)!</math> копий открытых симплексов размерности <math>n-1</math>.
В частности, пространство <math>\operatorname{Conf}_n(S^1)</math> гомотопически эквивалентно дизъюнктному объединению окружностей. Точнее, подобно случаю интервала, множество конфигураций, расположенных в форме правильного многоугольника, является деформационным ретрактом объемлющего пространства.
Аналогичные рассуждения показывают, что множество конфигураций, расположенных в форме правильного многоугольника, является деформационным ретрактом конфигурационного пространства <math>\operatorname{UConf}_n(S^1)</math>. Это множество гомеоморфно окружности, и тем самым, конфигурационное пространство гомотопически эквивалентно окружности.
Пары точек на сферах
Конфигурационное пространство <math>\operatorname{Conf}_2(S^1)</math> пар различных точек на окружности <math>S^1</math> совпадает с дополнением простой замкнутой кривой <math>\{(x,x) \mid x \in S^1\}</math> до тора <math>S^1 \times S^1</math>.
Имеется также следующая наглядная кодировка элементов <math>(x,y)</math> пространства <math>\operatorname{Conf}_2(S^1)</math>. Для <math>x \in S^1</math> стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм <math>S^1 \backslash \{x\} \cong \R</math>. Точнее, в случае окружности возможно сопоставить точке <math>y \in S^1\backslash \{x\}</math> координату на дуге <math>S^1 \backslash \{x\}</math>, проложенной в положительном направлении окружности. Данная кодировка непрерывна и устанавливает гомеоморфизм
- <math>\operatorname{Conf}_2(S^2)\cong S^1 \times \R</math>
конфигурационного пространства пар различных точек на окружности с бесконечным цилиндром.
Данный подход частично обобщается на произвольную сферу <math>S^m</math>. Для <math>x \in S^m</math> стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм <math>S^m \backslash \{x\} \cong \R^m</math>. Однако в общем случае может не быть естественного способа сопоставить подобную координату каждой точке <math>y \in S^m \backslash \{x\}</math> так, чтобы кодировка осуществляла гомеоморфизм пространств <math>\operatorname{Conf}_2(S^m)</math> и <math>S^m \times \R^m</math>. В действительности, она осуществляет гомеоморфизм
- <math>\operatorname{Conf}_2(S^m) \cong TS^m</math>
между конфигурационным пространством пар различных точек на сфере <math>S^m</math> и его касательным пространством <math>TS^m</math> сферы <math>S^m</math>. Кроме того, отображение
- <math>S^m \to \operatorname{Conf}_2(S^m)</math>,
заданное формулой <math>x \to (x,-x)</math>, является гомотопической эквивалентностьюШаблон:Sfn. Стоит отметить, что препятствием к гомеоморфности пространств <math>\operatorname{Conf}_2(S^m)</math> и <math>S^m \times \R^m</math> является непараллелизуемость сферы <math>S^m</math>, имеющая место при <math>m \neq 1,3,7</math>.
Конфигурационное пространство <math>\operatorname{UConf}_2(S^1)</math> двухэлементных подмножеств окружности <math>S^1</math> может быть получено из пространства <math>\operatorname{Conf}_2(S^1)</math> следующим образом. Представим тор <math>S^1 \times S^1</math> в виде факторпространства квадрата <math>[0,1]\times [0,1]</math> по отношению <math>(0,y) \sim (1,y)</math> и <math>(x,0) \sim (x,1)</math>, где <math>x,y \in [0,1]</math>. Тогда пространство <math>\operatorname{Conf}_2(S^1)</math> получается из данного факторпространства удалением диагонали <math>\{(x,x)|x\in[0,1]\}</math>. Чтобы получить искомое пространство <math>\operatorname{UConf}_2(S^1)</math>, требуется отождествить точки полученного пространства, симметричные относительно данной диагонали: <math>(x,y) \sim (y,x)</math>. Подобное отождествление равносильно представлению пространства <math>\operatorname{UConf}_2(S^1)</math> в виде факторпространства прямоугольного треугольника с вырезанной гипотенузой
- <math>\{(x,y) \mid x \in [0,1],\, y \in [0,x)\}</math>
по отношению <math>(0,x) \sim (1, x)</math>, где <math>x \in [0,1]</math>. Такое факторпространство гомеоморфно внутренности ленты Мёбиуса.
В общем случае сферы <math>S^m</math> конфигурационное пространство <math>\operatorname{UConf}_2(S^m)</math> допускает следующее описание.
Подмножество этого пространства, состоящее из элементов вида <math>\{x,-x\}</math>, где <math>x \in S^m</math>, гомеоморфно вещественному проективному пространству <math>\R P^m</math>: паре диаметрально противоположных точек на <math>S^m</math> соответствует прямая в <math>\R^{m+1}</math>. Данное подмножество является деформационным ретрактом объемлющего пространства <math>\operatorname{UConf}_2(S^m)</math>: каждая неантиподальная пара <math>\{x,y\}</math> может быть равномерно деформирована в антиподальную путём расталкивания точек <math>x</math> и <math>y</math> вдоль единственной содержащей их большой окружности сферы <math>S^m</math>. Например, в случае <math>m=1</math> искомое проективное пространство <math>\R P^1</math> вкладывается посредством вышеописанного гомеоморфизма во внутренность ленты Мёбиуса в виде её сердцевины (или средней окружности), а деформационная ретракция стягивает каждый перпендикулярный сердцевине интервал ленты Мёбиуса в точку.
Само пространство <math>\operatorname{UConf}_2(S^m)</math> гомеоморфно тотальному пространству <math>m</math>-мерного векторного расслоения <math>\gamma^\bot</math> над <math>\R P^m</math>, где символ <math>\gamma \subset \R^{m+1}</math> обозначает одномерное тавтологическое расслоение над <math>\R P^m</math>, а символ <math>\gamma^\bot</math> — его ортогональное дополнениеШаблон:Sfn.
Тройки точек на сферах
Конфигурационное пространство <math>\operatorname{Conf}_3(S^2)</math> допускает следующее описание.
Отождествим сферу <math>S^2</math> с Шаблон:Нп5 размерности один, то есть со сферой Римана <math>\mathbb{C}P^1</math>. Тогда для любой тройки <math>(a,b,c) \in \operatorname{Conf}_3(\mathbb{C}P^1)</math> отображение
- <math>f \mapsto (f(a),f(b),f(c))</math>
устанавливает гомеоморфизм
- <math>{\rm PGL}_2(\mathbb{C})\cong \operatorname{Conf}_3(\operatorname{Conf}_3(\mathbb{C}P^1))</math>
между проективной группой преобразований Мёбиуса и конфигурационным пространством троек различных точек сферыШаблон:Sfn. Стоит отметить, что в общем случае <math>n \geq 3</math> для любой тройки <math>(a,b,c) \in \operatorname{Conf}_3(S^2)</math> отображение
- <math>(f,x_1,\ldots,x_{n-3}) \mapsto (f(a),f(b),f(c),f(x_1),f(x_2),\ldots,f(x_{n-3}))</math>
устанавливает гомеоморфизмШаблон:SfnШаблон:Sfn
- <math>{\rm PGL}_2(\mathbb{C})\times \operatorname{Conf}_{n-3}(S^3\backslash \{a,b,c\}) \cong \operatorname{Conf}_n(S^2)</math>.
Шаблон:Нп5 <math>{\rm PSU}_2(\mathbb{C})</math> является максимальной компактной подгруппой группы <math>{\rm PGL}_2(\mathbb{C})</math> и, следовательно, её деформационным ретрактомШаблон:Sfn. Поскольку она гомеоморфна специальной ортогональной группе <math>{\rm SO}_3(\R)</math> и гомеоморфна трёхмерному вещественному проективному пространству <math>\R P^3</math>, можно заключить, что конфигурационное пространство <math>\operatorname{Conf}_3(S^2)</math> гомотопически эквивалентно данным пространствамШаблон:Sfn.
Последняя гомотопическая эквивалентность следующим образом обобщается на произвольную сферу <math>S^m</math>Шаблон:Sfn.
Отображение
- <math>(p,v) \mapsto (p, {\rm exp}(v), {\rm exp}(-v))</math>
задаёт вложение
- <math>UTS^m \to \operatorname{Conf}_3(S^m)</math>
Шаблон:Нп5 сферы <math>S^m</math> в конфигурационное пространство, где символ
- <math>{\rm exp}\colon TS^m \to S^m</math>
обозначает экспоненциальное отображение. Образ этого вложения является деформационным ретрактом пространства <math>\operatorname{Conf}_3(S^m)</math>Шаблон:Sfn. Пространство <math>UTS^m</math> гомеоморфно Шаблон:Нп5 <math>V_2(\R^{m+1})</math> ортонормированных <math>2</math>-реперов в <math>\R^{m+1}</math>. В случае <math>m=2</math> имеется гомеоморфизм <math>V_2(\R^3) \cong {\rm SO}_3(\R)</math>.
Роль в теории кос
Конфигурационные пространства представляют собой естественную среду для изучения и развития теории кос. Связь с косами состоит в следующемШаблон:Sfn.
Пусть <math>s_1,s_2,\ldots,s_n\colon [0,1]\to M</math> — совокупность из <math>n</math> путей попарно различных в каждый момент времени точек в пространстве <math>M</math>, то есть путей, для которых выполняются условия <math>s_i(t) \neq s_j(t)</math> при всех <math>i\neq j</math> и <math>t \in [0,1]</math>. Такая совокупность естественным образом задаёт путь в каждом из конфигурационных пространств <math>\operatorname{Conf}_n(M)</math> и <math>\operatorname{UConf}_n(M)</math>, или, иными словами, непрерывное семейство конфигураций точек в <math>M</math>. Заданный так путь замкнут, то есть является петлей, если его конечная конфигурация совпадает с начальной. В случае пространства <math>\operatorname{Conf}_n(M)</math> это означает равенство точек <math>s_k(1) = s_k(0)</math> для всех <math>k \in \{1,2,\ldots,n\}</math>, а в случае пространства <math>\operatorname{UConf}_n(M)</math> — равенство множеств
- <math>\{s_1(1),\ldots,s_n(1)\} = \{s_1(0),\ldots,s_n(0)\}</math>.
Пусть теперь <math>M = \mathbb{R}^2</math>. Если подобная совокупность путей <math>s_1,\ldots,s_n</math> задаёт петлю в пространстве <math>\operatorname{UConf}_n(\mathbb{R}^2)</math>, то она определяет набор кривых
- <math>[0,1]\times \{1,2,\ldots,n\} \to \R^2 \times [0,1]</math>,
заданный формулой <math>(t,k) \mapsto (s_k(t),t)</math>, который представляет собой геометрическую косу из <math>n</math> нитей. А если пути задают петлю в пространстве <math>\operatorname{Conf}_n(\mathbb{R}^2)</math>, то полученная коса является крашеной, то есть конец каждой её нити находится на том же уровне, что и начало.
В действительности фундаментальная группа конфигурационного пространства <math>\operatorname{UConf}_n(X)</math> неупорядоченных наборов <math>n</math> различных точек изоморфна группе кос <math>B_n</math>Шаблон:Sfn, а фундаментальная группа конфигурационного пространства <math>\operatorname{Conf}_n(X)</math> упорядоченных наборов <math>n</math> различных точек изоморфна группе крашеных кос <math>P_n</math>Шаблон:Sfn.
Группа кос топологического пространства
Группой кос и группой крашеных кос из <math>n</math> нитей топологического пространства <math>M</math> называютсяШаблон:Sfn, соответственно, группы
- <math>B_n(M):=\pi_1(\operatorname{UConf}_n(M))</math> и
- <math>P_n(M):=\pi_1(\operatorname{Conf}_n(M))</math>.
Например, так как
- <math>\operatorname{UConf}_1(M) = \operatorname{Conf}_1(M) = M</math>,
имеются равенства
- <math>B_1(M) = P_1(M) = \pi_1(M)</math>.
Иными словами, группы кос обобщают фундаментальную группу. Кроме того, группы кос поверхностей тесно связаны с их группами классов отображений.
Каждому элементу <math>\beta \in B_n(X)</math> можно сопоставить элемент симметрической группы, а именно, перестановку <math>\tau(\beta) \in S_n</math> компонент соответствующего упорядоченного кортежа. Иными словами, эта перестановка определяется листом, содержащем конец поднятия петли <math>\beta</math> относительно накрытия
- <math>\pi\colon\operatorname{Conf}_n(X)\to \operatorname{UConf}_n(X)</math>.
Функция <math>\tau</math> является гомоморфизмом и задаёт короткую точную последовательность
- <math>1 \to P_n(X) \to B_n(X) \to S_n \to 1</math>.
Приложения
Электростатическое отображение
Конфигурационные пространства <math>\operatorname{UConf}_n(\R^m)</math> могут быть использованы для гомотопической аппроксимации пространства <math>{\rm Maps}^\ast(S^m, S^m)</math> сохраняющих отмеченные точки непрерывных отображений сферы <math>S^m</math> в себя, рассматриваемого с компактно-открытой топологией. Интерес к изучению гомотопического типа данного пространства вызван тем, что, согласно Шаблон:Нп5, оно гомеоморфно следующему итерированному пространству петель:
- <math>{\rm Maps}^\ast(S^m, S^m) \cong \Omega^m S^m</math>.
Таким образом, его гомотопические группы изоморфны гомотопическим группам сферы <math>S^m</math>:
- <math>\pi_k({\rm Maps}^\ast(S^m, S^m)) \cong \pi_k (\Omega^m S^m) \cong \pi_{k+m}(S^m)</math>.
Классический подход к аппроксимации состоит в следующемШаблон:Sfn.
Сопоставим каждому конечному подмножеству <math>\{x_1,x_2,\ldots,x_n\} \subset \R^m</math> из <math>n</math> элементов следующее непрерывное отображение из сферы <math>S^m</math> в себя.
Пусть <math>\R^m \backslash \{x_1,\ldots,x_n\} \to \R^m</math> — векторное поле, представляющее собой электрическое поле, полученное путём размещения положительно заряженной частицы в каждую точку <math>x_i</math>. Данное векторное поле можно доопределить до непрерывного отображения
- <math>\R^m \cup \{\infty\} \to \R^m \cup \{\infty\}</math>
одноточечных компактификаций правилами <math>\infty\mapsto 0</math> и <math>x_i \mapsto \infty</math>, где <math>i \in \{1,2,\ldots,n\}</math>. Композиция с гомеоморфизмом <math>\R^m \cup \{\infty\} \cong S^m</math> задаёт искомое непрерывное отображение из сферы <math>S^m</math> в себя. Его степень равна <math>n</math>.
Таким образом заданное сопоставление определяет непрерывное отображение
- <math>e \colon \operatorname{UConf}_n(\R^m) \to {\rm Maps}_{n}^\ast(S^m, S^m)</math>
из конфигурационного пространства неупорядоченных наборов <math>n</math> различных точек в подпространство пространства непрерывных отображений <math>S^m \to S^m</math>, состоящее из отображений степени <math>n</math>, переводящих отмеченную точку <math>\infty</math> слева в отмеченную точку <math>0</math> справа. Оно называется электростатическим отображениемШаблон:Sfn и задаёт отображение
- <math>\operatorname{UConf}_{<\infty}(\R^m) \to {\rm Maps}^\ast(S^m, S^m)</math>
из конфигурационного пространства конечных подмножеств.
Электростатическое отображение используется для гомотопической аппроксимации пространства <math>{\rm Maps}^\ast(S^m, S^m)</math>. Например, в простейшем случае <math>m=1</math> оно является слабой гомотопической эквивалентностью. Точнее, каждая компонента <math>{\rm Maps}_n(S^1, S^1)</math> пространства <math>{\rm Maps}(S^1, S^1)</math> стягиваема: множество отображений вида <math>z \mapsto z^n</math>, где <math>n \in \Z</math>, является его деформационным ретрактомШаблон:Sfn. Пространство <math>\operatorname{UConf}_n(\R^1)</math> также стягиваемо и гомеоморфно внутренности симплекса размерности <math>n</math>.
В общем случае отображение <math>e</math> индуцирует изоморфизм
- <math>e_*\colon H_p(\operatorname{UConf}_n(\R^m); \Z) \to H_p({\rm Maps}_{n}^\ast(S^m, S^m); \Z)</math>
групп гомологий в размерности <math>p \leq n/2</math>Шаблон:Sfn.
В случае <math>m=2</math> данный результат свидетельствует о связи между гомотопическими свойствами конфигурационных пространств <math>\operatorname{UConf}_n(\R^2)</math> и пространства <math>{\rm Maps}(S^2, S^2)</math>. Например, он предоставляет подход к вычислению группы
- <math>\pi_k({\rm Maps}^\ast(S^2, S^2)) \cong \pi_{k+2}(S^2)</math>.
Поскольку пространство <math>\operatorname{UConf}_n(\R^2)</math> является асферическим, все его гомотопические свойства могут быть описаны в терминах его фундаментальной группы, изоморфной группе кос. Данный факт является косвенным подтверждением известной связи между группами кос и гомотопическими группами двумерной сферыШаблон:Sfn.
Вариации и обобщения
Вышеописанные конструкции допускают следующее обобщение. Пусть <math>S</math> и <math>M</math> — топологические пространства. Пространство конфигураций <math>S</math> в <math>M</math> — это множество <math>\operatorname{Conf}_S(M)</math> всех топологических вложений пространства <math>S</math> в пространство <math>M</math>. Данное подмножество множества всех непрерывных отображений из <math>S</math> в <math>M</math> рассматривается с топологией, индуцированной с компактно-открытой топологии.
В случае, если <math>S</math> является конечным множеством мощности <math>n</math> с дискретной топологией, то пространство <math>\operatorname{Conf}_S(M)</math> гомеоморфно пространству <math>\operatorname{Conf}_n(M)</math>.
Аналогично можно определить обобщение <math>\operatorname{UConf}_S(M)</math> пространства <math>\operatorname{UConf}_n(M)</math>.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
