Русская Википедия:Конформное отображение
Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.
Определение
Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (Шаблон:Lang-la — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.
Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.
Связанные определения
- Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
- Две метрики <math>g,\tilde g</math> на гладком многообразии <math>M</math> называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция <math>\psi:M\to\R</math> такая что <math>\tilde g=e^{2\cdot\psi} g</math>. В этом случае функция <math>e^{\psi}</math> называется конформным фактором <math>\tilde g</math>.
Свойства
- Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
- Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
- Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
- Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск.
- Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства <math>\R^n</math> при <math>n\ge 3</math> можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
- Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если <math>\tilde g</math> и <math>g</math> — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
- <math>\tilde W(X,Y)Z=W(X,Y)Z,</math>
- где <math>\tilde W</math> и <math>W</math> обозначают тензоры Вейля для <math>\tilde g</math> и <math>g</math> соответственно.
- Для конформно-эквивалентых метрик <math>\tilde g=e^{2\psi}{\cdot} g</math>
- Связности связаны следующей формулой:
- <math>\tilde\nabla_XY=\nabla_XY+(X\psi){\cdot}Y+(Y\psi){\cdot}X-g(X,Y){\cdot}\nabla\psi.</math>
- Кривизны связаны следующей формулой:
- <math>g(\tilde R(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-</math>
- <math>-\mathrm{Hess}_\psi (X,X)-\mathrm{Hess}_\psi(Y,Y)-|\nabla\psi|^2+(Y\psi)^2
- Связности связаны следующей формулой:
</math>
- если <math>g(X,X)=g(Y,Y)=1, g(X,Y)=0, X\psi=0</math> а <math>\mathrm{Hess}_\psi</math> обозначает Гессиан функции <math>\psi</math>.
- В двумерном случае <math>|\nabla\psi|^2=(Y\psi)^2</math>, поэтому формулу можно записать как
- <math>e^{2\cdot\psi}\cdot\tilde K= K-\triangle\psi</math>
- где <math>\triangle</math> обозначает лапласиан по отношению к <math>g</math>.
- Для ортонормированной пары векторов <math>X</math> и <math>Y</math>, секционную кривизну в направленнии <math>X\wedge Y</math> можно записать в следующем виде:
- <math>\tilde K_{X,Y}=
- если <math>g(X,X)=g(Y,Y)=1, g(X,Y)=0, X\psi=0</math> а <math>\mathrm{Hess}_\psi</math> обозначает Гессиан функции <math>\psi</math>.
f^2{\cdot}K_{X,Y} +f{\cdot}[\mathrm{Hess}_f (X,X)+\mathrm{Hess}_f(Y,Y)]-|\nabla f|^2,</math>
- где <math>f=e^{-\psi}</math>.
- При вычислении скалярной кривизны <math>n</math>-мерного риманова многообразия при <math>n\geqslant 3</math>, удобнее записывать конформный фактор в виде <math>\tilde g=u^{\tfrac4{n-2}}{\cdot} g</math>. В этом случае:
- <math>\tilde{Sc}=\left({Sc}\cdot u-\frac{4{\cdot}(n-1)}{n-2}{\cdot}\triangle u\right)\cdot u^{\frac{n-2}{n+2}}</math>
- Линейный оператор <math>u\mapsto \tfrac{n-2}{4{\cdot}(n-1)}{\cdot}{Sc}\cdot u-\triangle u</math> называется конформным лапласианом.
Примеры
- Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
- Инверсия — конформное отображение второго рода;
- Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
- Стереографическая проекция.
История
Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, [[Риман, Бернхард|Шаблон:S]], [[Гаусс, Карл Фридрих|Шаблон:S]], [[Пуанкаре, Жюль Анри|Шаблон:S]], [[Каратеодори, Константин|Шаблон:S]], [[Жуковский, Николай Егорович|Шаблон:S]], [[Чаплыгин, Сергей Алексеевич|Шаблон:S]], М. А. Лаврентьев.
Применение
Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей[1], механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).
Литература
- Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
- Шаблон:Статья
- Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
- Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
- Шаблон:Книга
- Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.
- Радыгин В. М., Полянский И. С. Методы конформных отображений многогранников в <math>\R^3</math> // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60–68.
См. также
- Условия Коши — Римана
- Теорема Римана об отображении
- Теорема Шварца — Кристоффеля
- Диффеоморфизм
- Принцип соответствия границ
Ссылки
- Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.
