Русская Википедия:Конформно плоское многообразие

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Конформно плоское многообразие — риманово многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область евклидова пространства.

Более формально, пусть M — псевдориманово многообразие с метрикой g. Тогда M является конформно плоским, если для каждой точки <math>x \in M </math>существует окрестность <math>U \ni x</math> и гладкая функция <math>\phi</math>, определённая на U и такая, что метрика <math>e^{2\phi}\cdot g</math> на <math>U</math> является плоской (то есть кривизны <math> e^{2\phi}\cdot g</math> обращаются в нуль на <math>U</math>).

Функция <math>\phi</math> называется конформным фактором, она не должна быть определена на всём М. Некоторые авторы используют термин локально конформно плоское для описания понятия, введённого выше, и оставляют термин конформно плоское для случая, в котором функция <math>\phi</math> определяется на всём М.

Примеры

• Любое многообразие с постоянной секционной кривизной является конформно плоским.
• Любое 2-мерное псевдориманово многообразие является конформно плоским.
• 3-мерное псевдориманово многообразие является конформно плоским тогда и только тогда, когда тензор Коттона обращается в нуль.
• n-мерное псевдориманово многообразие для n ≥ 4 является конформно плоским, тогда и только тогда, когда тензор Вейля обращается в нуль.

Свойства

• Всякое компактное, односвязное, конформно плоское риманово многообразие является конформно эквивалентным сфере.

Вариации и обобщения

• Псевдориманово многообразие называется конформно плоским если каждая его точка имеет окрестность, которая может быть конформно отображена на область псевдоевклидова пространства.