Русская Википедия:Концептуальные программы в физике

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Концептуальные программы в физике — принятые в физике наиболее общие математические модели. Различные области физики имеют различные программы для моделирования состояний физических систем.

Классическая механика

Для простого случая одиночной частицы с массой m, движущейся вдоль одного измерения x и действующей на неё силой <math>F_i</math>, программа классической механики состоит в том, чтобы определить состояние <math>x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> путём решения уравнения второго закона Ньютона,

<math>m\,x(t) = \sum_i F_i</math>,

для <math>x(t)</math> задаются начальные условия как для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, обычно <math>x(0),x'(0)\in\mathbb{R}</math>. Если силы консервативные, второй закон Ньютона принимает вид:

<math>m\,x(t) = \sum_i -\frac{\mathrm{d}U_i(x)}{\mathrm{d}x}</math>.

В 3 пространственных измерениях, состояние <math>\mathbf{x}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3</math> определяется путём решения уравнения второго закона Ньютона,

<math>m\,\mathbf{x}(t) = \sum_i \mathbf{F}_i</math>,

для <math>\mathbf{x}(t)</math> с соответствующими начальными условиями, обычно <math>\mathbf{x} (0),\mathbf{x}'(0)\in\mathbb{R}^3</math>. Для системы из N частиц, закон Ньютона применим к каждой частице, ограничивая её общее состояние

<math>\mathbf{x}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3N}</math>.

Точные решения существуют для многих важных систем. Для других систем применяют численные методы. Например, они были применены к большим системам, включая формирование Солнечной системы и планетарные атмосферы.

Другие формулировки

В лагранжевой механике для той же системы состояние <math>\mathbf{q}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3N}</math> удовлетворяет принципу Гамильтона <math>\frac{\delta S}{\delta\mathbf{q}(t)}=0</math> где действие функционала определяется как

<math>S[\mathbf{q}] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \int_{t_1}^{t_2}L(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t)\,\mathrm{d}t</math>.

В гамильтоновой механике с каноническими координатами <math>(\mathbf{q},\mathbf{p})</math> и гамильтоновой функцией <math>\mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) </math> состояние <math>\mathbf{q}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3N}</math> определяется решением

<math>\mathbf{q}'(t) = \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial\mathbf{p}}\quad,\quad \mathbf{p}'(t) = -\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial\mathbf{q}}\quad,\quad \frac{\partial\mathcal{H}}{\partial t} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial t}</math>.

Квантовая механика

Для одной частицы с массой m, двигающейся вдоль оси x, под действием скалярного потенциала<math>U(x, t)</math>, программа квантовой механики заключается в определении волновой функции <math>\psi:\mathbb{R}\to L_{2}(\mathbb{R}^{1},\mathbb{C})</math> где <math>\psi(x,t)</math> удовлетворяет уравнению Шрёдингера,

<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = \left [ \frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + U(x,t)\right ] \psi(x,t)</math>

с учётом конкретных начальных условий, например <math>\psi(x, 0)</math> в <math>L_{2}(\mathbb{R}^{1},\mathbb{C})</math>. Здесь, <math>L_{2}(X,E)</math> обозначает подпространство L² или квадратично-интегрируемое подпространство пространства функций <math>f:X\to E</math>. В трёх измерениях со скалярным потенциалом <math>U (\mathbf{x}, t) </math> состояние <math>\psi:\mathbb{R}\to L_{2}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{C})</math> удовлетворяет уравнению Шрёдингера,

<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{x},t) = \left [ \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf{x},t)\right ] \psi(\mathbf{x},t)</math>

для соответствующих начальных условий, например <math>\psi(\mathbf{x}, 0)</math> в <math>L_{2}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{C})</math>. Строго говоря, пространство физически различных чистых состояний не является вышеупомянутым пространством L² но скорее лучом в проективном гильбертовом пространстве, что следует из теории представлений С*-алгебры. Были найдены точные решения для простых систем, таких как атом водорода, исключая гелий и более сложные атомы, в то время как существуют численные методы и применяются на молекулярном уровне.

Классический предел

Значения волновой функции координатного пространства выше являются координаты вектора состояния в координатном пространстве собственного базиса, выраженные как <math>\psi(\mathbf{x},t) = \langle\mathbf{x} |\psi(t)\rangle</math>. Временная эволюция вектора состояния порождается оператором Гамильтона <math>\hat{H}</math>, приводя к общему уравнению Шрёдингера <math>i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle</math>, формальным решением которого является унитарный оператор временной эволюции <math>\hat{U}(t)</math>,

<math>|\psi(t)\rangle = \hat{U}(t)|\psi(0)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}|\psi(0)\rangle</math>.

Расширение следующей амплитуды перехода даёт интеграл пути, взятый по всем путям <math>\mathbf{y}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3</math> из <math>\mathbf{y}(t_1)=\mathbf{x}_1</math> в <math>\mathbf{y}(t_2)=\mathbf{x}_2</math>,

<math>\langle\mathbf{x}_2|\hat{U}(t_2-t_1)|\mathbf{x}_1\rangle = \langle\mathbf{x}_2|e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}(t_2-t_1)}|\mathbf{x}_1\rangle = \int_{\mathbf{y}(t_1)=\mathbf{x_1}}^{\mathbf{y}(t_2)=\mathbf{x}_2} e^{\frac{i}{\hbar} \mathcal{S}[\mathbf{y}]} \,\mathcal{D}\mathbf{y}</math>,

и свёртка это с начальной волновой функцией даёт Лагранжеву формулировку квантовой механики через интегральную формулировку пути,

<math>\psi(\mathbf{x}_2, t_2) = \int_{\mathbf{x}_1} \int_{\mathbf{y}(t_1)=\mathbf{x_1}}^{\mathbf{y}(t_2)=\mathbf{x}_2} e^{\frac{i}{\hbar} \mathcal{S}[\mathbf{y}]} \,\mathcal{D}\mathbf{y} \,\psi(\mathbf{x}_1,t_1) \,\mathrm{d}\mathbf{x}_1</math>.

В пределе <math>\hbar\to 0</math> (т. е. как <math>\hbar/m c</math> становится бесконечно меньше, чем характерная длина рассматриваемой области), относительный вклад пути <math>\mathbf{y}</math>, который удовлетворяет классическим уравнениям движения, становится бесконечным, и следовательно <math>\hat{U}(t)</math> будет транспортировать декогерентный волновой пакет, локализованный в <math>\mathbf{x}_1</math> (напр. <math>\psi(\mathbf{x}, t_1)\approx\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_1)</math>) по своему классическому пути без квантовых эффектов, порождая принцип Гамильтона и программу классической механики выше.

Квантовая теория поля

Для поля в пространственных измерениях d с массой m и значением в V программа из квантовой теории поля в теории можно получить волновой функционал <math>\Psi : \mathbb{R}\to L_{2}(\mathbb{R}^d\to V,\mathbb{C})</math> который удовлетворяет <math>i\hbar\partial_0\Psi[\phi(\cdot),t] = \hat{H} \Psi[\phi(\cdot),t]</math> с

<math>\hat{H} = \int \mathrm{d}^d x \left[ \partial_0\hat{\phi}(\mathbf{x})\hat{\pi}(\mathbf{x}) - \mathcal{L}[\hat{\phi},\mathbf{\partial}\hat{\phi}] \right] </math>

учитывая подходящие начальные условия, гипотетически <math>\Psi[\phi(\cdot),0]:L_{2}(\mathbb{R}^d\to V,\mathbb{C})</math>. Однако нахождение точного решения превосходит современные математические возможности для всех случаев, кроме распространения свободных частиц. На практике расчёты состоят из определения амплитуды рассеяния с помощью пертурбативных аппроксимаций или численного аппроксимирования соответствующих теорий поля на решётке.

Классический предел

Значения волнового функционала существуют в базисе операторов поля как <math>\Psi[\phi(\cdot),t]=\langle\phi(\cdot)|\Psi(t)\rangle</math>, где состояние удовлетворяет уравнению <math>i\hbar\partial_0|\Psi(t)\rangle=\hat{H}|\Psi(t)\rangle</math>. Расширение формального решения даёт интеграл пути, взятый по каждому пути в поле <math>\chi:\mathbb{R}\to V^{\mathbb{R}^d}</math> из <math>\chi(t_1)=\phi_1</math> в <math>\chi(t_2)=\phi_2</math>,

<math>\langle\phi_2|e^{-i\hat{H}(t_2-t_1)/\hbar}|\phi_1\rangle = \int_{\chi(t_1)=\phi_1}^{\chi(t_2)=\phi_2} e^{\frac{i}{\hbar} \mathcal{S}[\mathbf{\chi}]} \,\mathcal{D}\mathbf{\chi}</math>

и свёртка этого с начальным волновым функционалом даёт

<math>\Psi[\phi_2,t_2] = \int_{\phi_1} \int_{\chi(t_1)=\phi_1}^{\chi(t_2)=\phi_2} e^{\frac{i}{\hbar} \mathcal{S}[\mathbf{\chi}]} \,\mathcal{D}\mathbf{\chi} \,\Psi[\phi_1,t_1] \,\mathcal{D}\phi_1</math>.

В пределе <math>\hbar\to 0</math> относительный вклад пути поля <math>\chi</math>, который удовлетворяет классическим уравнениям движения поля, и ковариантная классическая теория поля восстанавливается.

Нерелятивистский предел

Каждое свободное квантовое поле <math>\hat{\phi}</math> может быть разложено с использованием его операторов рождения и уничтожения как

<math>\hat\phi(x)=\hat a(x)+\hat b^\dagger(x)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\hbar\omega_\mathbf{p}}} \left\{\hat{a}_\mathbf{p}e^{-i p\cdot x/\hbar}+\hat{b}_\mathbf{p}e^{-i p\cdot x/\hbar}\right\}</math>,

где операторы рождения и аннигиляции импульсного пространства интегрируются, чтобы получить операторно-значное распределение <math>\hat{a}(x)</math> и <math>\hat{b}(x)</math>, и связь между моментом и энергией даёт <math>(\hbar\omega_\mathbf{p})^2=E^2=\left(m c^2\right)^2+(pc)^2</math>. В нерелятивистском пределе <math>c\to\infty</math>, таким образом получаем <math>\hbar\omega_\mathbf{p}\approx E\approx m c^2</math> и фазу <math>e^{-i\omega_\mathbf{p}t}</math> и измеряемую величину <math>(2\hbar\omega_\mathbf{p})^{-1/2}</math> множитель, приносящий

<math>\hat{a}(x)\to\frac{e^{-i m c^2 t/\hbar}}{\sqrt{2mc^2}}\hat{A}(x),\quad \hat{b}(x)\to\frac{e^{-i m c^2 t/\hbar}}{\sqrt{2mc^2}}\hat{B}(x)</math>.

Следовательно, лагранжиан поля <math>L = (\hbar c)^2\partial_a\phi\partial^a\phi^\dagger - (mc^2)^2\phi\phi^\dagger</math> сводится к

<math>L = \hat{A}^\dagger(i\hbar\partial_t + \frac{\hbar^2\nabla^2}{2m})\hat{A} + \hat{B}^\dagger(i\hbar\partial_t + \frac{\hbar^2\nabla^2}{2m})\hat{B} + \text{h.c.}</math>

поскольку операторы рождения и аннигиляции диссоциируют и ведут себя как два отдельных поля Шрёдингера (представляющих частицу и античастицу), занятые состояния которых каждое независимо подчиняется уравнению Шрёдингера и дают программу квантовой механики частиц выше.

Другой способ

Другие способы могут столкнуться с проблемами при определении локализованных состояний частиц в представлении Гейзенберга и нерелятивистском пределе, <math>e^{i m c^2 t/\hbar}\langle\mathbf{k}|\hat{\phi}(x)|0\rangle</math> (with <math>|\mathbf{k}\rangle</math> одночастичное состояние с импульсом <math>\mathbf{k}</math>) часто отождествляется с волновой функцией импульсного пространства, но оно не может быть локализовано. При попытке свести релятивистскую квантовую механику к нерелятивистской квантовой механике, хотя гамильтониан <math>H=(\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4)^{1/2}</math> порождает Ньютон-вигнерский пропагатор и определяет скаляр Лоренца <math>\psi</math>, к сожалению этот пропагатор не является инвариантом Лоренца.