Русская Википедия:Конциклические точки
Конциклические точки (или гомоциклические точки) — точки, находящиеся на одной окружности. Три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, всегда лежат на одной окружности, поэтому иногда термин «конциклические» прилагают только к наборам из 4 или более точекШаблон:Sfn.
Серединные перпендикуляры
В общем случае центр O окружности, на которой лежат точки P и Q, должен быть таким, чтобы расстояния OP и OQ были равны . Поэтому точка O должна лежать на срединном перпендикуляре (или на медиатрисе) отрезка PQ[1]. Необходимым и достаточным условием того, чтобы n различных точек лежали на одной окружности является то, что n(n − 1)/2 медиатрис отрезков, имеющих своими концами любые пары из n точек, все одновременно пересекались в одной точке, а именно: в центре O.
Вписанные многоугольники
Треугольники
Вершины каждого треугольника лежат на окружности[2]. Окружность, проходящая через 3 вершины треугольника, называется описанной окружностью треугольника. Несколько других наборов точек, которые определяются из треугольника, также лежат на одной окружности, то есть являются конциклическими точками; см. Окружность Эйлера[3] и Окружность Лестера[4].
Радиус окружности, на которой находятся множество точек, по определению, есть радиус описанной окружности любого треугольника с вершинами в любых трёх из этих точек. Если попарные расстояния между любыми тремя из этих точек a, b и c, то радиус окружности равен
- <math>R = \sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}.</math>
Уравнение описанной окружности для треугольника, и выражение для радиуса и координат центра окружности через декартовы координаты вершин приведены здесь.
Четырехугольники
Четырехугольник ABCD с вершинами, лежащими на одной окружности, называется вписанным; это бывает тогда и только тогда, когда <math>\angle CAD = \angle CBD</math> (по теореме о вписанном угле окружности), что выполняется если и только если противоположные углы четырёхугольника дополняют друг друга до 180 градусов[5]. Вписанный четырёхугольник с последовательными сторонами a, b, c, d и полупериметром s = (a+b+c+d)/2 имеет радиус описанной окружности, равный[6][7]
- <math>R=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.</math>
Это выражение было получено индийским математиком Шаблон:Не переведено 5 в XV веке.
По теореме Птолемея, четырёхугольник, заданный попарными расстояниями между его четырьмя вершинами A, B, C и D соответственно, будет вписанным тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:
- <math>AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD.</math>
Если две прямые, одна из которых содержит отрезок AC, а другая содержит отрезок BD, пересекаются в одной точке «Х», то эти четыре точки A, B, C, D являются конциклическими точками тогда и только тогда, когда[8]
- <math>\displaystyle AX\cdot XC = BX\cdot XD.</math>
Точка пересечения X может быть как внутри, так и вне описанного круга. Эта теорема известна как теорема о степени точки.
n-угольники
В общем случае n-угольник, все вершины которого лежат на одной окружности, называется вписанным многоугольником. Многоугольник является вписанным многоугольником, если и только если все серединные перпендикуляры его сторон пересекаются в одной точке[9].
Примечания
Литература
