Русская Википедия:Координатное представление (квантовая механика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Координатное представление (квантовая механика) — это такое представление операторов квантовой механики, в котором операторы и волновая функция зависят от пространственных координат.В этом представлении оператор координаты диагонален.

Уравнение Шрёдингера

В данном представлении уравнение Шрёдингера имеет вид:

<math>(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r))\psi=i{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t}</math>

- зависящее от времени, и

<math>(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r))\psi=E\psi</math>

не зависящее от времени (везде r - радиус-вектор точки, где берётся волновая функция).

Некоторые операторы в координатном представлении

<math>r</math>-координата;

<math>-i{\hbar}\frac{\partial}{\partial r}</math>-импульс;

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)</math>-гамильтониан.

Связь с другими представлениями

Чтобы перейти в импульсное представление, нужно либо

1) Решить задачу в координатном и перейти к импульсному с помощью суперпозиционного соотношения

<math>\psi(p)=\frac{1}{\sqrt {2 \pi {\hbar}}} \int \psi(x)e^{-ipx/\hbar}dx</math>

P.S. Переход обратно к координатному представлению можно записать, как <math>\psi(x)=\frac{1}{\sqrt {2 \pi {\hbar}}} \int \psi(p)e^{ipx/\hbar}dp</math>

Легко видеть, что это прямое и обратное преобразования Фурье. В трёхмерном пространстве множитель при интеграле нужно заменить на <math>\frac {1}{\sqrt {(2 \pi \hbar)^3}}</math>

2) Сменить гамильтониан на <math>\hat H=\frac{p^2}{2m}+V(i{\hbar}\frac{\partial}{\partial p})</math> и решать задачу с ним.

Литература

• Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. М.:Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2014.