Русская Википедия:Координатное пространство
Координатное пространство — это плоское пространство, которое устанавливает позицию двухмерных объектов при использовании двух опорных осей, которые являются перпендикулярными друг к другу.
Все физические явления могут быть описаны в разных пространствах: координатном, импульсном, фазовом и др. Описания математически эквивалентны, однако различаются сложностью и интуитивностью описания. В большинстве случаев, координатное пространство является интуитивно понятным и наиболее лёгким для понимания процесса, в нём протекающего, однако, в физике твёрдого тела в общем случае удобнее использовать импульсное описание.
Определение
Назовём[1] <math>n</math>-мерным вектором совокупность из <math>n</math> чисел поля <math>P, </math> эти числа — координатами вектора <math>\vec{r} = \vec{r}(r_1, r_2, \ldots, r_n) . </math> Для определённости говорят, что данный вектор <math>\vec{r}</math> является радиус-вектором, хотя это не обязательно.
Множество <math>n</math>-мерных векторов, для которых определены операции:
- <math>\vec{a} = \vec{b} \; \leftrightarrow \; \left \{ \begin{matrix} a_1 = b_1 \\ a_2 = b_2 \\ \ldots \\ a_n = b_n \end{matrix} \right.</math>
- <math>\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n)</math>
- <math>\lambda \cdot \vec{a} = (\lambda \cdot a_1, \; \lambda \cdot a_2, \ldots, \lambda \cdot a_n)</math>
называют <math>n</math>-мерным арифметическим пространством или <math>n</math>-мерным координатным пространством <math>P^n</math>.
Свойства
Пусть <math>\exists \vec{0} = (0, 0, \ldots, 0), \vec{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n), \lambda \in \R, \mu \in \R</math>
- <math>(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})</math>
- <math>\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}</math>
- Единственность решения уравнения:
- <math>\forall \vec{a}, \vec{b} \; \exists ! \; \vec{x} \in P^n \; : \; \vec{a} + \vec{x} = \vec{b}</math>
- Существование нейтрального элемента:
- <math> \forall \vec{a} \; : \; \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}</math>
- Существование противоположного вектора:
- <math>\forall \vec{a} \; \exists \vec{b} (b_1 = -a_1, \; b_2 = -a_2, \ldots, b_n = -a_n) \; : \; \vec{a} + \vec{b} = \vec{0}</math>
- Ассоциативность скалярного умножения:
- <math>\forall \lambda, \mu \in \R \; : \; \lambda \cdot (\mu \cdot \vec{a}) = (\lambda \cdot \mu) \cdot \vec{a}</math>
- Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров:
- <math>(\lambda + \mu) \cdot \vec{a} = \lambda \cdot \vec{a} + \mu \cdot \vec{a}</math>
- Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов:
- <math>\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \cdot \vec{a} + \lambda \cdot \vec{b}</math>
- Существование базис-векторов:
- Пусть <math>\left \{ \begin{matrix} \vec{v_1} = \vec{v_1} (1, 0, \ldots, 0) \\ \vec{v_2} = \vec{v_2} (0, 1, \ldots, 0) \\ \vdots \\ \vec{v_n} = \vec{v_n} (0, 0, \ldots, 1) \end{matrix} \right.</math>
- Тогда
- Эти векторы линейно независимы
- Любой вектор <math>\vec{v} = \vec{v}(v_1, v_2, \ldots, v_n)</math> можно представить как <math>\vec{v} = v_1 \cdot \vec{v_1} + v_2 \cdot \vec{v_2} + \ldots + v_n \cdot \vec{v_n}</math>
Операторы в координатном пространстве
Все операторы могут быть обобщены на <math>n</math>-мерный случай, однако для простоты в этом разделе будут рассматриваться только трёхмерные случаи.
- <math>\Delta = {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} + {\partial^2 \over \partial z^2}</math>
- <math>\nabla = {\partial \over \partial x} \vec{i} + {\partial \over \partial y} \vec{j} + {\partial \over \partial z} \vec{k}</math>
- <math> \vec{\Delta} \vec{A}= \nabla(\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{A})</math>
- <math> \mathbf{\hat{p}} = -i \hbar \nabla</math>
См. также
Примечания
Литература
