Русская Википедия:Коприсоединённое представление

Коприсоединённое представление <math>\mathrm{Ad}^*</math> группы Ли <math>G</math> — это представление, Шаблон:Iw к присоединённому. Если <math>\mathfrak{g}</math> — алгебра Ли группы <math>G</math>, соответствующее действие <math>G</math> на пространстве <math>\mathfrak{g}^*</math>, сопряжённом к <math>\mathfrak{g}</math>, называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на <math>G</math>.

Важность коприсоединённого представления была подчёркнута в работах А. А. Кириллова, показавшего, что ключевую роль в теории представлений нильпотентных групп Ли <math>G</math> играет понятие орбиты коприсоединённого представления (К-орбиты). В Шаблон:Iw Кириллова представления <math>G</math> строятся геометрически, отталкиваясь от К-орбит. В некотором смысле последние заменяют собой классы сопряжённости <math>G</math>, которые могут быть устроены сложным образом, в то время как работать с орбитами сравнительно просто.

Определение

Пусть <math>G</math> — группа Ли и <math>\mathfrak{g}</math> — её алгебра Ли, <math>\mathrm{Ad}: G \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})</math> — присоединённое представление <math>G</math>. Тогда коприсоединённое представление <math>\mathrm{Ad}^*: G \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathfrak{g}^*)</math> определяется как <math>\mathrm{Ad}^*_g := \left(\mathrm{Ad}_{g^{-1}}\right)^*</math>. Более точно,

<math>\langle \mathrm{Ad}^*_g f,\,X \rangle = \langle f,\,\mathrm{Ad}_{g^{-1}} X \rangle,\qquad g \in G,\quad X \in \mathfrak{g},\quad f \in \mathfrak{g}^*,</math>

где <math>\langle f, X \rangle</math> — значение линейного функционала <math>f</math> на векторе <math>X</math>.

Пусть <math>\mathrm{ad}^*</math> — представление алгебры Ли <math>\mathfrak{g}</math> в <math>\mathfrak{g}^*</math>, индуцированное коприсоединённым представлением группы Ли <math>G</math>. Тогда для <math>X \in \mathfrak{g}</math> справедливо равенство <math>\mathrm{ad}^*_X = -\left(\mathrm{ad}_X\right)^*</math>, где <math>\mathrm{ad}</math> — присоединённое представление алгебры Ли <math>\mathfrak{g}</math>. Это заключение может быть сделано исходя из инфинитезимальной формы приведённого выше определяющего уравнения для <math>\mathrm{Ad}^*</math>:

<math>\langle \mathrm{ad}^*_X f,\,Y \rangle := \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t}\langle \mathrm{Ad}^*_{\exp(t X)} f,\,Y \rangle\right|_{t = 0} = \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t}\langle f,\,\mathrm{Ad}_{\exp(-t X)}Y\rangle\right|_{t = 0} = \langle f,\,-\mathrm{ad}_X Y \rangle,\qquad X, Y \in \mathfrak{g},\quad f \in \mathfrak{g}^*,</math>

где <math>\exp</math> — Шаблон:Iw из <math>\mathfrak g</math> в <math>G</math>.

Генераторы

Пусть <math>\varphi\in C^1(\mathfrak{g}^*)</math> — дифференцируемая функция на <math>\mathfrak{g}^*</math>. Рассмотрим изменение функции <math>\varphi</math> при коприсоединённом действии однопараметрической подгруппы <math>e^{t X}\subset G</math> в направлении вектора <math>X\in\mathfrak{g}</math> и продифференцируем его в единице группы:

Шаблон:EF

Здесь <math>\nabla_f\varphi</math> — градиент функции <math>\varphi</math>, который естественным образом отождествляется с элементом алгебры <math>\mathfrak{g}</math>. Выберем некоторый базис <math>\{e_i\}</math> в алгебре <math>\mathfrak{g}</math> и пусть <math>\{e^i\}</math> — взаимный ему базис в <math>\mathfrak{g}^*</math>, то есть <math>\langle e_i,\,e_j\rangle = \delta^i_j</math>, <math>i, j = 1, ..., \dim\mathfrak{g}</math>, где <math>\delta^i_j</math> — символ Кронекера. Выберем в качестве <math>X</math> базисный вектор <math>e_i</math>. Тогда равенство (Шаблон:Eqref) приобретает вид

<math>\left.\frac{\mathrm{d}\varphi(\mathrm{Ad}^*_{\exp(- t e_i)} f)}{\mathrm{d}t}\right|_{t = 0} = C^k_{ij}f_k\frac{\partial\varphi(f)}{\partial f_j}</math>

(по дважды повторяющимся индексам здесь и ниже подразумевается суммирование), откуда видно, что в качестве базиса генераторов коприсоединённого действия можно выбрать набор векторных полей

<math>\hat X_i = C^k_{ij}f_k\frac{\partial}{\partial f_j},\qquad i = 1, ..., \dim\mathfrak{g}</math>,

где <math>C^k_{ij}</math> — Шаблон:Iw алгебры <math>\mathfrak{g}</math>.

Инварианты

Шаблон:Iw <math>K</math> коприсоединённого действия удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Шаблон:EF

Определим антисимметричную билинейную форму <math>B_f(X,\,Y)</math> на <math>\mathfrak{g}</math> посредством равенства

<math>B_f(X,\,Y) := \langle f,\,[X,\,Y] \rangle,\qquad X, Y \in \mathfrak{g}</math>.

Количество независимых уравнений в системе (Шаблон:Eqref) равно <math>\mathrm{rank}\,B_f</math>. Её решения в окрестности точки общего положения (то есть точки, в которой ранг формы <math>B_f</math> максимален) называются функциями Казимира алгебры <math>\mathfrak{g}</math>. Число функционально независимых нетривиальных (не тождественно постоянных) функций Казимира называется индексом алгебры <math>\mathfrak{g}</math> и равно

<math>\mathrm{ind}\,\mathfrak{g} = \dim\mathfrak{g} - \sup\limits_{f\in\mathfrak{g}^*}\mathrm{rank}\,B_f</math>.

Так как ранг антисимметричной формы чётен, то чётности индекса и размерности алгебры всегда совпадают.

Помимо функций Казимира <math>K_\mu</math>, <math>\mu = 1, ..., \mathrm{ind}\,\mathfrak{g}</math>, определённых в точках общего положения пространства <math>\mathfrak{g}^*</math>, могут существовать инварианты, заданные на особых подмногообразиях коприсоединённого действия, на которых ранг формы <math>B_f</math> ниже максимального. Если на особом инвариантном побмногообразии <math>M_s\subset\mathfrak{g}^*</math> ранг формы <math>B_f</math> равен <math>\dim\mathfrak{g} - \mathrm{ind}\,\mathfrak{g} - 2s</math>, <math>s = 1, ..., (\dim\mathfrak{g} - \mathrm{ind}\,\mathfrak{g})/2</math>, то непостоянные решения <math>K^{(s)}</math> системы (Шаблон:Eqref), ограниченной на подмногообразие <math>M_s</math>, называются функциями Казимира типа <math>s</math>. Совокупность независимых функций <math>\{K_\mu, K^{(1)}_\nu, ..., K^{((\dim\mathfrak{g} - \mathrm{ind}\,\mathfrak{g})/2)}_\rho\}</math> образует базис инвариантов коприсоединённого действия: любой инвариант может быть выражен как функция от элементов этого набора. Из вида системы (Шаблон:Eqref) следует, что базис инвариантов всегда может быть составлен из однородных функций от компонент ковектора <math>f</math>.

К-орбиты

Орбита коприсоединённого представления, или, коротко, К-орбита, <math>\mathcal{O}</math>, проходящая через точку <math>f</math> в сопряжённом пространстве <math>\mathfrak{g}^*</math> к алгебре Ли <math>\mathfrak{g}</math>, может быть определена как орбита <math>\mathrm{Ad}^*_G f\subset\mathfrak{g}^*</math>, или, эквивалентно, как однородное пространство <math>G/\mathrm{Stab}(f)</math>, где <math>\mathrm{Stab}(f)\subset G</math> — стабилизатор точки <math>f</math> относительно коприсоединённого действия группы <math>G</math>.

Орбиты общего положения имеют максимально возможную размерность, равную <math>\dim\mathfrak{g} - \mathrm{ind}\,\mathfrak{g}</math>, и называются невырожденными, или регулярными. Такие орбиты определяются через произвольный набор независимых функций Казимира уравнениями

<math>K_\mu(f) = \kappa_\mu,\qquad \mu = 1, ..., \mathrm{ind}\,\mathfrak{g}.</math>

Аналогично вырожденные, или сингулярные, орбиты размерности <math>\dim\mathfrak{g} - \mathrm{ind}\,\mathfrak{g} - 2 s</math>, составляющие особые инвариантные подмногообразия <math>M_s</math>, определяются уравнениями

<math>K^{(s)}_\mu(f) = \kappa^{(s)}_\mu,\qquad \mu = 1, ..., r_{s},</math>

где <math>r_{s}</math> — количество независимых функций Казимира типа <math>s</math>. Если функции Казимира однозначны, каждому набору постоянных <math>\kappa^{(s)}_\mu</math> соответствует счётное (как правило, конечное) число орбит. Ковекторы, принадлежащие (не)вырожденной орбите, также называют (не)вырожденными.

Форма Кириллова

Орбиты коприсоединённого представления являются подмногообразиями чётной размерности в <math>\mathfrak{g}^*</math> и обладают естественной симплектической структурой. На каждой орбите <math>\mathcal{O}</math> существует замкнутая невырожденная <math>G</math>-инвариантная 2-форма <math>\omega_{\mathcal{O}}</math>, которая строится следующим образом. Пусть <math>B_f</math> — определённая выше антисимметричная билинейная форма на <math>\mathfrak{g}</math>. Тогда можно определить <math>\omega_{\mathcal{O}} \in \mathrm{Hom}(\Lambda^2(\mathcal{O}), \mathbb{R})</math> посредством равенства

<math>\omega_{\mathcal{O}}(\mathrm{ad}^*_X f,\,\mathrm{ad}^*_Y f) := B_f(X,\,Y)</math>.

Существование, невырожденность и <math>G</math>-инвариантность <math>\omega_{\mathcal{O}}</math> вытекают из следующих фактов:

Касательное пространство <math>T_f(\mathcal{O})</math> может быть отождествлено с <math>\mathfrak{g}/\mathrm{stab}(f)</math>, где <math>\mathrm{stab}(f)</math> — алгебра Ли группы <math>\mathrm{Stab}(f)</math>.

Ядро отображения <math>B_f</math> есть в точности <math>\mathrm{stab}(f)</math>.

<math>B_f</math> инвариантно относительно действия <math>\mathrm{Stab}(f)</math>.

Кроме того, форма <math>\omega_{\mathcal{O}}</math> замкнута. Каноническую 2-форму <math>\omega_{\mathcal{O}}</math> называют формой Кириллова, Кириллова — Шаблон:Iw или Кириллова — Костанта — Сурио.

К-орбита <math>\mathcal{O}</math> называется целочисленной, если форма Кириллова принадлежит целочисленному классу когомологий, то есть её интеграл по любому двумерному циклу <math>\sigma</math> в <math>\mathcal{O}</math> равен целому числу:

<math>\int\limits_\sigma\omega_\mathcal{O} = n\in Z</math>.

Целочисленные орбиты играют центральную роль при построении неприводимых представлений групп Ли методом орбит.

Скобка Березина

Форма <math>B_f</math> снабжает пространство <math>\mathfrak{g}^*</math> структурой Шаблон:Iw со скобкой Ли — Пуассона

<math>\{\varphi,\,\psi\}_{LP} = B_f(\mathrm{d}\varphi,\,\mathrm{d}\psi) = C^k_{ij}f_k \frac{\partial\varphi(f)}{\partial f_i} \frac{\partial\psi(f)}{\partial f_j},\qquad \varphi, \psi \in C^2(\mathfrak{g}^*)</math>,

являющейся вырожденной скобкой Пуассона: из вида генераторов коприсоединённого действия очевидно, что функции Казимира (и только они) коммутируют относительно неё с любой функцией на <math>\mathfrak{g}^*</math>. Ограничение этой скобки на орбиты коприсоединённого представления, называемое скобкой Березина^[1], невырожденно и совпадает со скобкой Пуассона <math>\{\cdot,\,\cdot\}_{\omega_\mathcal{O}}</math>, порождаемой формой Кириллова:

<math>\{\varphi,\,\psi\}_{\omega_\mathcal{O}} = \omega_\mathcal{O}(\mathrm{sgrad}\,\varphi,\,\mathrm{sgrad}\,\psi) = \left.\{\varphi,\,\psi\}_{LP}\right|_\mathcal{O}</math>.

Здесь <math>\mathrm{sgrad}\,\varphi</math> — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом <math>\varphi</math>.

Свойства К-орбит

Коприсоединённое действие на К-орбите <math>(\mathcal{O}, \omega_{\mathcal{O}})</math> являетсяa Шаблон:Iw с Шаблон:Iw <math>\mathcal{O} \hookrightarrow \mathfrak{g}^*</math>.
Если для орбиты <math>\mathcal{O}</math> существует поляризация, то вложение <math>\mathcal{O}\hookrightarrow\mathfrak{g}^*</math> может быть реализовано функциями <math>f_i(q, p),\ i = 1, ..., \dim\mathfrak{g}</math>, линейными по <math>1/2\,\dim\mathcal{O}</math> переменным <math>p</math>, где <math>(q,\,p)</math> — канонические координаты для формы Кириллова на орбите <math>\mathcal{O}</math>.^[2]^[3]

Примеры

Группа E(2)

Алгебра Ли <math>\mathfrak{e}(2)</math> группы <math>E(2)</math> движений евклидовой плоскости определяется коммутационными соотношениями

<math>[e_1,\,e_2] = 0,\qquad [e_1,\,e_3] = e_2,\qquad [e_2,\,e_3] = - e_1</math>

(коммутирующие элементы <math>e_1</math> и <math>e_2</math> соответствуют трансляциям плоскости в направлении двух координатных осей, а элемент <math>e_3</math> — вращению вокруг некоторой точки; таким образом, группа <math>E(2)</math> трёхмерна). Соответственно, матрица формы <math>B_f</math> имеет вид

<math>(B_f) =

\begin{pmatrix} 0 & 0 & f_2\\ 0 & 0 & - f_1\\ - f_2 & f_1 & 0 \end{pmatrix}</math> Её ранг равен двум всюду, кроме прямой <math>f_1 = f_2 = 0</math>, представляющей собой особое инвариантное подмногообразие <math>M_1</math> коприсоединённого действия группы <math>E(2)</math> на <math>\mathfrak{e}(2)^*</math>, поэтому невырожденные К-орбиты двумерны. По генераторам этого действия

<math>\hat X_1 = f_2 \frac{\partial}{\partial f_3},\qquad \hat X_2 = - f_1 \frac{\partial}{\partial f_3},\qquad \hat X_3 = - f_2 \frac{\partial}{\partial f_1} + f_1 \frac{\partial}{\partial f_2}</math>

выписываются два независимых уравнения

<math>f_2 \frac{\partial K(f)}{\partial f_3} = -f_2 \frac{\partial K(f)}{\partial f_1} + f_1 \frac{\partial K(f)}{\partial f_2} = 0,\qquad f_1^2 + f_2^2\neq 0</math>,

определяющие единственную функцию Казимира. Неособые многообразия её уровня

<math>K(f) = f_1^2 + f_2^2 = \kappa \equiv j^2,\qquad j\neq 0</math>,

каждое из которых состоит из одной орбиты, представляют собой цилиндры с общей осью <math>M_1</math>. Особое многообразие уровня (<math>j = 0</math>) совпадает с <math>M_1</math> и состоит из (нульмерных) сингулярных орбит <math>f_1 = f_2 = 0</math>, <math>f_3 = \kappa^{(1)}</math>. Форма Кириллова

<math>\omega_\mathcal{O} = \frac{\mathrm{d} f_3\wedge\mathrm{d} f_2}{f_1}</math>

приводится к каноническому виду <math>\omega_\mathcal{O} = \mathrm{d} p\wedge\mathrm{d}q</math> в цилиндрических координатах, ограниченных на фиксированную орбиту <math>j = const</math>:

<math>f_1 = j \cos q,\qquad f_2 = j \sin q,\qquad f_3 = p</math>.

Заметим, что переход к каноническим переменным в данном случае линеен по <math>p</math>. Возможность линейного по «импульсу» <math>q</math>-<math>p</math>-перехода гарантируется наличием в <math>\mathfrak{e}(2)</math> двумерной подалгебры трансляций, натянутой на векторы <math>e_1</math>, <math>e_2</math>, являющейся в силу своей коммутативности поляризацией для любой невырожденной К-орбиты.

Группа SO(3)

<math>SO(3)</math> — (трёхмерная) группа вращений трёхмерного евклидова пространства. Коммутационные соотношения в её алгебре Ли <math>\mathfrak{so}(3)</math>

<math>[e_1,\,e_2] = e_3,\qquad [e_1,\,e_3] = - e_2,\qquad [e_2,\,e_3] = e_1</math>

(каждый базисный вектор соответствует генератору вращения в одной из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей) определяют вид матрицы формы <math>B_f</math>:

<math>(B_f) =

\begin{pmatrix} 0 & f_3 & -f_2\\ -f_3 & 0 & f_1\\ f_2 & -f_1 & 0 \end{pmatrix}</math>. Из трёх генераторов коприсоединённого представления в каждой точке <math>f\in\mathfrak{so}(3)^*\backslash\{0\}</math> линейно независимы только два, поэтому несингулярные орбиты двумерны. Они представляют собой концентрические сферы

<math>K(f) = f_1^2 + f_2^2 + f_3^2 = \kappa \equiv j^2,\qquad j\neq 0</math>,

с центром в начале координат. Особое подмногообразие <math>M_1</math> состоит из одной точки <math>\{0\}</math>, так как только в ней все три генератора становятся нулевыми.

Поскольку в алгебре <math>\mathfrak{so}(3)</math> нет двумерных подалгебр, то регулярные ковекторы не имеют поляризаций, соответственно, вложение регулярных орбит в пространство <math>\mathfrak{so}(3)^*</math> не может быть реализовано функциями, линейными по каноническим <math>p</math>-переменным для формы Кириллова

<math>\omega_\mathcal{O} = \frac{\mathrm{d} f_1\wedge\mathrm{d} f_2}{f_3}</math>.

Однако (комплексные) двумерные подалгебры, подчинённые невырожденным ковекторам, имеются в <math>\mathfrak{so}(3)^\mathbb{C}</math>, комплексификации алгебры <math>\mathfrak{so}(3)</math>. Например, для ковектора <math>j\,e^3</math> таковой является подалгебра <math>\{e_1 + i e_2,\,e_3\}</math>, поэтому такое вложение оказывается возможным посредством переменных, принимающих комплексные значения:

<math>f_1 = \frac{i}{2}\left(1 - q^2\right) p + j\,q,\qquad f_2 = - \frac{1}{2}\left(1 + q^2\right) p - i j\,q,\qquad f_3 = -i\,q\,p + j,\qquad q,\ p\in\mathbb{C},\quad |p|\leqslant j</math>.

Легко проверить, что этим преобразованием форма <math>\omega_\mathcal{O}</math> действительно приводится к каноническому виду.

См. также

Литература

Шаблон:Книга
Kirillov, A. A., Lectures on the Orbit Method, Шаблон:Iw, Vol. 64, American Mathematical Society, Шаблон:ISBN, Шаблон:ISBN

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:PlanetMath

[1] Шаблон:Книга

[Baranovsky-2] Шаблон:Статья

[3] Шаблон:Статья

[1]

[2]

[3]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.