Русская Википедия:Корень Бринга

y=Br(x)

В алгебре корень Бринга или ультрарадикал — это аналитическая функция <math>Br(a)</math>, задающая единственный действительный корень многочлена <math>x^5+x+a</math>. Иначе говоря, для любого <math>a</math> верно, что

Разрез на комплексной плоскости проходит вдоль вещественной полуоси <math>x\leqslant -1</math>.

Корень Бринга был введён шведским математиком en (Erland Samuel Bring).

en (George Jerrard) показал, что все уравнения 5-й степени могут быть решены в радикалах и корнях Бринга. Более полное представление ультрарадикала, как обратной функции ультрастепени показали российские исследователи Груздов и Березины. Они же нашли точный радиус сходимости степенного ряда ультрарадикала, и показали как использовать его для аналитического решения многочленов с любым количеством членов и с любыми степенями, в том числе и комплексными. На основе их метода в некоторых калькуляторах уже имеются кнопки "brn". В сущности это такая же кнопка, как и кнопка корня, но требует указывать две степени.

Нормальная форма Бринга — Жерара

Если

тогда, если

мы можем получить полином 5-й степени от <math>y</math>, сделав преобразование Чирнгауза, например, используя результант для исключения <math>x</math>. Мы можем затем подобрать конкретные значения коэффициентов <math>b_i</math> для того, чтобы получить полином от <math>y</math> в форме

Эта неполная форма, открытая Брингом и переоткрытая Жераром, называется нормальной формой Бринга — Жерара. Метод «в лоб» при попытке приведения к нормальной форме Бринга — Жерара не срабатывает; нужно делать это шаг за шагом, применяя несколько преобразований Чирнгауза, которые современные системы аналитических вычислений делают довольно легко.

В начале, подставляя <math>x-a_1/5</math> вместо <math>x</math>, избавляемся от члена с <math>x^4</math>. Затем, применяя идею Чирнгауза для исключения и члена <math>x^3</math>, введём переменную <math>y = x^2+px+q</math> и найдём такие <math>p</math> и <math>q</math>, чтобы в результате коэффициенты при <math>x^3</math> и <math>x^4</math> стали равны 0. Конкретнее, подстановки

<math>q = \frac{2c}{5}</math> и

исключают члены третьей и четвёртой степени одновременно из

Следующим шагом делаем подстановку

в форму

и исключаем также член второй степени, в процессе чего не потребуется решения уравнений степени выше 3. При этом выражения для <math>b_1, b_2</math> и <math>b_4</math> содержат квадратные корни, а в выражении для <math>b_3</math> присутствует корень третьей степени.

Общий вид сравнительно легко вычислить с помощью компьютерных систем типа Maple или Mathematica, но он слишком громоздкий, поэтому лучше опишем метод, который затем может быть применён в конкретном случае. В любом частном случае можно составить систему из трёх уравнений для коэффициентов <math>b_i</math> и решить её. Одно из решений, полученных таким образом, будет включать корни многочленов не выше третьей степени; рассмотрев затем результант с вычисленными коэффициентами, сведём уравнение к форме Бринга — Жерара. Корни первоначального уравнения выражаются через корни полученного уравнения.

Рассматриваемые как алгебраическая функция, решения уравнения

зависят от двух параметров, <math>u</math> и <math>v</math>, однако заменой переменной можно видоизменить уравнение так, чтобы неизвестная была функцией уже только одного параметра. Так, если положить

придём к форме

которая содержит <math>x</math> как алгебраическую функцию одного комплексного, вообще говоря, параметра <math>t</math>, где <math>t=-(v/4)(-u/5)^{-5/4}</math>.

Корни Бринга

Как функции комплексной переменной t, корни x уравнения

имеют точки ветвления, где дискриминант 800 000(t⁴ - 1) обращается в ноль, то есть в точках 1, −1, а также i и -i. Монодромия вокруг любой из точек ветвления обменивает две из них, оставляя одну на месте. Для вещественных значений t, больших или равных −1, наибольший вещественный корень есть функция от t, монотонно возрастающая от 1; назовём эту функцию корень Бринга, BR(t). Выбирая ветвь, обрезанную вдоль вещественной оси от <math>-\infty</math> до −1, мы можем продолжить корень Бринга на всю комплексную плоскость, устанавливая значения вдоль ветви так, чтобы получалось аналитическое продолжение вдоль верхней полуплоскости.

Конкретно, положим <math>a_0 = 3, a_1 = {1\over100}, a_2 = -{27\over400\,000}, a_3 = {549\over800\,000\,000}</math>, и последовательность a_i определим рекуррентно

<math>-{\frac {9\,747}{

52\,780\,000}}\,{\frac {10\,{n}^{2}+40\,n+39}{ \left( n+4 \right) \left( n+3 \right) }}a_{n+2}</math>

<math>-{\frac {57}{52\,780\,000}}\,{\frac { \left( 2\,n+3

\right)  \left( 10\,{n}^{2}+30\,n+17 \right) }{ \left( n+4 \right) 
\left( n+3 \right)  \left( n+2 \right) }}a_{n+1}</math>

<math>-{\frac {1}{6\,597\,500\,000}}\,{\frac { \left( 5\,n+11 \right) \left( 5\,n+7 \right) \left( 5\,n+3

\right)  \left( 5\,n-1 \right) }{ \left( n+4 \right)  \left( n+3
\right)  \left( n+2 \right)  \left( n+1 \right) }}a_n.</math>

Для комплексных значений t таких, что |t - 57| < 58, получим

<math>\operatorname{BR}(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n (t-57)^n,</math>

что можно аналитически продолжить, о чём было уже упомянуто.

Корни x⁵ — 5x — 4t = 0 можно теперь выразить в терминах корней Бринга таким образом:

<math>r_n = i^{-n} \operatorname{BR}(i^n t)</math>

для n от 0 до 3, и

для пятого корня.

Решение общего уравнения пятой степени

Шаблон:Нет источников в разделе Мы можем теперь выразить корни полинома

в терминах радикалов Бринга как

<math>x=\sqrt[4]{p} \cdot BR\left(\frac{q}{\sqrt[4]{p^5}}\right)=\sqrt[4]{p}\cdot H\left(\frac{\sqrt[4]{p}\cdot e^{\frac{2 \pi ik}{5}}}{\sqrt[5]{q}}\right),k=0..4</math>

для подсчёта корня достаточно брать только 1 значение из 4-x <math>\sqrt[4]{p}</math>

<math>BR(x)=H\left(\frac{e^{\frac{2\pi ik}{5}}}{\sqrt[5]{x}}\right),k=0...4</math>.

Шаблон:Начало скрытого блока В уравнении <math>x^5+px+q=0</math> сделаем подстановку <math>x=\alpha y</math>, получим <math>y^5+\frac{p}{\alpha^4}y+\frac{q}{\alpha^5}=0</math>. Возьмём <math>\alpha=\sqrt[4]{p}</math> , тогда получим: <math>y^5+y+\frac{q}{p^{\frac{5}{4}}}=0</math>. Его корни по определению равны :

<math>y=BR\left(\frac{q}{p^{\frac{5}{4}}}\right)</math>, тогда корни исходного уравнения равны

<math>x=\sqrt[4]{p}\cdot BR\left(\frac{q}{p\sqrt[4]{p}}\right)</math>

Что и требовалось доказать.

     Шаблон:Конец скрытого блока

Итак, у нас есть сведение к форме Бринга-Жерара в терминах разрешимых полиномиальных уравнений, при этом используются полиномиальные преобразования, включающие выражения в корнях не выше четвёртой степени. Это значит, что преобразования могут быть обращены нахождением корней многочлена, выраженных в радикалах. Эта процедура порождает лишние решения, но если отсечь их численными методами, то получим выражение для корней уравнения пятой степени через квадратные, кубические корни и радикалы Бринга, что т.о. будет алгебраическим решением в терминах алгебраических функций одной переменной - алгебраическим решением общего уравнения пятой степени.

Примеры

1) <math>x^5+2x+7=0 </math>

<math>x=\sqrt[4]{2} \cdot BR \left(\frac{7}{2\sqrt[4]{2}}\right)=\sqrt[4]{2}\cdot H\left(\sqrt[5]{\frac{2\sqrt[4]{2}}{7}}e^{\frac{2\pi ik}{5}}\right),k=0...4</math>

2) <math>x^5-x+7=0</math>

<math>x=-\sqrt[4]{-1} BR\left(\frac{7}{\sqrt[4]{-1}}\right)=-e^{\frac{\pi i}{4}}\cdot BR\left(\frac{7}{e^{\frac{\pi i}{4}}}\right)=-e^{\frac{\pi i}{4}}\cdot H\left(\frac{e^{\frac{\pi i}{20}}}{\sqrt[5]{7}}e^{\frac{2\pi ik}{5}}\right),k=0...4 </math>,

функция <math>H(x)</math> определена ниже

3)<math>x^5-\frac{5}{2}x-26=0</math>

<math>x_k=e^{\frac{2\pi ik}{5}}\sqrt[5]{\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2 \left(-\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}{2}}+e^{\frac{4\pi ik}{5}}\sqrt[5]{\frac{\left(-\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^2 \left(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)}{2}}+</math>

<math>+e^{\frac{6\pi ik}{5}}\sqrt[5]{\frac{\left(-\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2 \left(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)}{2}}+e^{\frac{8\pi ik}{5}}\sqrt[5]{\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2 \left(-\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}{2}},k=0,1,2,3,4</math>.

4) <math>x^5-5x+12=0</math>

<math>x_k=-\sqrt[4]{5}\cdot e^{\frac{\pi i}{4}}\cdot BR\left(\frac{2}{5\sqrt[4]{5}\cdot e^{\frac{\pi i}{4}}}\right)</math>

<math>x_k=5^{-\frac{2}{5}}e^{\frac{2\pi ik}{5}}\sqrt[5]{{\left(\sqrt{5}+\sqrt{5-\sqrt{5}}\right)^2 \left(-\sqrt{5}+\sqrt{5+\sqrt{5}}\right)}}+e^{\frac{4\pi ik}{5}}5^{-\frac{2}{5}}\sqrt[5]{{\left(-\sqrt{5}+\sqrt{5+\sqrt{5}}\right)^2 \left(\sqrt{5}-\sqrt{5-\sqrt{5}}\right)}}+</math>

<math>+5^{-\frac{2}{5}}e^{\frac{6\pi ik}{5}}\sqrt[5]{{\left(-\sqrt{5}-\sqrt{5+\sqrt{5}}\right)^2 \left(\sqrt{5}+\sqrt{5-\sqrt{5}}\right)}}+e^{\frac{8\pi ik}{5}}5^{-\frac{2}{5}}\sqrt[5]{{\left(\sqrt{5}-\sqrt{5-\sqrt{5}}\right)^2 \left(-\sqrt{5}-\sqrt{5+\sqrt{5}}\right)}},k=0,1,2,3,4</math>

5) <math>x^5+\frac{15-20\sqrt{\pi}}{\pi +1}x-\frac{44+8\sqrt{\pi}}{\pi +1}=0</math>

<math>x_k=e^{\frac{2\pi i k}{5}}\sqrt[5]{\frac{\left(\sqrt{\pi +1 }+\sqrt{\pi +1-\sqrt{\pi+1}}\right)^2\left(-\sqrt{\pi +1 }+\sqrt{\pi +1+\sqrt{\pi+1}}\right)}{(\pi+1)^2}}+e^{\frac{4\pi i k}{5}}\sqrt[5]{\frac{\left(-\sqrt{\pi +1 }+\sqrt{\pi +1+\sqrt{\pi+1}}\right)^2\left(+\sqrt{\pi +1 }-\sqrt{\pi +1-\sqrt{\pi+1}}\right)}{(\pi+1)^2}}+</math><math>+e^{\frac{6\pi i k}{5}}\sqrt[5]{\frac{\left(-\sqrt{\pi +1 }-\sqrt{\pi +1+\sqrt{\pi+1}}\right)^2\left(+\sqrt{\pi +1 }+\sqrt{\pi +1-\sqrt{\pi+1}}\right)}{(\pi+1)^2}}++e^{\frac{8\pi i k}{5}}\sqrt[5]{\frac{\left(+\sqrt{\pi +1 }-\sqrt{\pi +1-\sqrt{\pi+1}}\right)^2\left(-\sqrt{\pi +1 }-\sqrt{\pi +1+\sqrt{\pi+1}}\right)}{(\pi+1)^2}},k=0,1,2,3,4.</math>

6) <math>x^5+15x-44=0</math>

График функции

Для классификации введём дискриминант <math>D=256p^5+3125q^4</math>

Тогда в зависимости от знака D тип графика можно разбить на 3 случая:

<math>D>0</math>. 1 действительный корень и 4 комплексных корня. Максимум и минимум (если существуют) находятся по одну сторону от оси OX

<math>D>0</math>. 1 действительный корень и 4 комплексных корня. Максимум и минимум (если существуют) находятся по одну сторону от оси OX
<math>D<0</math>. 3 действительных корня и два комплексных. Максимум и минимум находятся по разные стороны от оси OX

<math>D<0</math>. 3 действительных корня и два комплексных. Максимум и минимум находятся по разные стороны от оси OX
<math>D=0</math>. Максимум и минимум (если существуют) находятся по одну сторону от оси OX. Полином имеет кратные корни. Их можно найти по формуле:<math>gcd(x^5+px+q,5x^4+p)</math>, где <math>gcd(x,y)</math> — наибольший общий делитель.

<math>D=0</math>. Максимум и минимум (если существуют) находятся по одну сторону от оси OX. Полином имеет кратные корни. Их можно найти по формуле:<math>gcd(x^5+px+q,5x^4+p)</math>, где <math>gcd(x,y)</math> — наибольший общий делитель.

Если <math>\frac{D}{256p^4}=0</math>, то уравнение имеет кратные корни.

Разрешимые классы уравнений 5 степени

1) <math>x^5+5ax^3+5a^2x+b=0</math>

<math>x_k=e^{\frac{2\pi i k}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{b^2+4a^5}-b}{2}}-\frac{a}{e^{\frac{2\pi i k}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{b^2+4a^5}-b}{2}}}</math>.

2) Если в уравнении <math>x^5+ax+b</math> , <math>a,b\in Q,\exists\varepsilon=\pm1,\exists e\neq0,\exists c>0</math>

<math>a=\frac{5e^4(3-4\epsilon c)}{c^2+1},b=\frac{-4e^5(11\epsilon+2c)}{c^2+1},</math> то корни выражаются через:

<math>x_j=e(\omega^ju_1+\omega^{2j}u_2+\omega^{3j}u_3+\omega^{4j}u_4),j=0,1,2,3,4</math>, где <math>\omega=e^{\frac{2\pi i}{5}}</math>,<math>D=c^2+1</math>,

<math>u_1=\sqrt[5]{\frac{\left(\sqrt{D}+\sqrt{D-\varepsilon\sqrt{D}}\right)^2 \left(-\sqrt{D}+\sqrt{D-\varepsilon\sqrt{D}}\right)}{D^2}}</math>

<math>u_2=\sqrt[5]{\frac{\left(-\sqrt{D}+\sqrt{D-\varepsilon\sqrt{D}}\right)^2 \left(\sqrt{D}-\sqrt{D-\varepsilon\sqrt{D}}\right)}{D^2}}</math>

<math>u_3=\sqrt[5]{\frac{\left(-\sqrt{D}-\sqrt{D-\varepsilon\sqrt{D}}\right)^2 \left(\sqrt{D}+\sqrt{D-\varepsilon\sqrt{D}}\right)}{D^2}}</math>

<math>u_4=\sqrt[5]{\frac{\left(\sqrt{D}-\sqrt{D-\varepsilon\sqrt{D}}\right)^2 \left(-\sqrt{D}-\sqrt{D-\varepsilon\sqrt{D}}\right)}{D^2}}</math>

Другие свойства

Много других свойств корней Бринга было получено, первые были сформулированы в терминах модулярных эллиптических функций Шарлем Эрмитом в 1858. Напишем основные свойства:

0.<math>\operatorname{BR}(-a)=-\operatorname{BR}(a)</math>

<math>\operatorname{BR}(ia)=i\operatorname{BR}(a)</math>
<math>\operatorname{BR}(a^5+a)=-a</math>
<math>\lim_{n \to \infty}BR(n)=\sqrt[5]{n}</math>
<math>\operatorname{BR}\left(\frac{m^5+mn^4}{n^5}\right)=-\frac{m}{n} </math> , как следствие из 2
<math>BR(x)'=\frac{-1}{5BR(x)^4+1}</math>
<math>\int \frac{-1}{5BR(x)^4+1}dx=BR(x)+C</math>

Разрешимость в радикалах

если <math>p=\frac{3125\phi \chi^4}{(\phi-1)^4(\phi^2-6\phi+25)},q=\frac{3125\phi \chi^5}{(\phi-1)^4(\phi^2-6\phi+25)},\phi\in R,\chi\in R</math>,

то уравнение разрешимо в стандартных радикалах.

Разложение в ряд при <math>x\rightarrow\infty</math>

Введём: <math>Br(x)=H\left(\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\right)</math>, <math>y=\frac{1}{\sqrt[5]{x}}</math>

Ряд примет вид: <math>H(y)=-\frac{1}{y}+\frac{y^3}{5}+\frac{y^7}{5^2}+\frac{y^{11}}{5^3}-\frac{21y^{19}}{5^6}-\frac{78y^{23}}{5^7}-\frac{187y^{27}}{5^8} -\frac{286y^{31}}{5^9}+\frac{9367y^{39}}{5^{12}}+\frac{39767y^{43}}{5^{13}}+\frac{105672y^{47}}{5^{14}}...</math>

Файл:H(x).png

y=H(x)

<math>BR(z)=H\left(\frac{1}{\sqrt[5]{z}}\right)=L\left(\frac{1}{z^{\frac{4}{5}}}\right)\sqrt[5]{z}</math>

Тогда:

при <math> z\rightarrow\infty</math>

<math>L(z)=\frac{-1+\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{j_n}{z^{5n}}}}{z},j_1=1,j_2=1,j_3=5,j_4=35,...</math>, где

при <math> z\rightarrow0</math>

<math>L(z)= \sum_{n=0}^{\infty} -

{\frac {{3125}^{-n}\alpha \left( -1/10,2 n \right)
\alpha \left( 2/5,2 n \right)  \left( -16 \right) ^{n}{z}^{5 n}}

{\alpha \left( 4/5,n \right) \alpha \left( 3/5,n \right) \alpha \left( 2/5,n \right) n!}}+1/5 {\frac {{3125}^{-n}\alpha \left( 4/5,2 n \right) \alpha \left( 3/10,2 n \right) \left( -16 \right) ^{n} {z}^{5 n+1}}{\alpha \left( 6/5,n \right) \alpha \left( 4/5,n \right) \alpha \left( 3/5,n \right) n!}}+</math>

<math> +1/25 {\frac {{3125}^{-n}\alpha \left( 6/5,2 n \right) \left( -16 \right) ^{n} {z}^{5 n+2}}{\alpha \left( 7/5,n \right) \alpha \left( 6/5,n \right) \alpha \left( 4/5,n \right) n!}\alpha \left( {\frac{7}{10}},2 n \right)+{\frac {{3125}^{-n}\alpha \left( 8/5,2 n \right) \left( -16 \right) ^{n} {z}^{5 n+3}}{125 \alpha \left( 8/5,n \right) \alpha \left( 7/5,n \right) \alpha \left( 6/5,n \right) n!}\alpha \left( {\frac{11}{10}},2 n \right) }}</math>

Файл:L(x).png

y=L(x)

где <math> \alpha(a,b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)}</math>

Разложение в ряд при <math>x\rightarrow0</math>

<math> BR(a)=- \sum_{k=0}^\infty \binom{5k}{k} \frac{(-1)^k a^{4k+1}}{4k+1} = a + a^5 - 5 a^9 + 35 a^{13} - ...</math> или

<math>\operatorname{BR}(a) = -a \,\,_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};-5\left(\frac{5a}{4}\right)^4\right)</math>

Частные значения

<math>\operatorname{BR}(0)=0</math>

<math>\operatorname{BR}(-1)=\frac{\sqrt[3]{100+12\sqrt{69}}}{6}+\frac{2}{3\sqrt[3]{100+12\sqrt{69}}}-\frac{1}{3}</math>

<math>\operatorname{BR}(2)=-1</math>

Решение через пределы

Дано уравнение: <math>x^5-px-q=0</math>, его корень можно представить в виде:

<math>x=\sqrt[5]{q+p\sqrt[5]{q+p\sqrt[5]{q+...}}}</math>, или <math>x=\lim_{n \to \infty}\overbrace{\sqrt[5]{q+p\sqrt[5]{q+...}} }^{n}</math>Шаблон:Начало скрытого блока <math>x=\sqrt[5]{q+p\sqrt[5]{q+p\sqrt[5]{q+...}}}</math>

1)Представим эту запись в виде последовательности <math>x_n</math> , где:

2) Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена , значит имеет предел при <math>n\rightarrow\infty</math>, и <math>x_{n+1}=x_{n}</math>,

значит получаем уравнение: <math>x=\sqrt[5]{q+px}</math>, тогда:

Что и требовалось доказать.

     Шаблон:Конец скрытого блока

Решение через тета функции

1)<math>k=\tan\left(\frac{1}{4}\arcsin\left(\frac{16}{25\sqrt{5}d^2}\right)\right)</math>,<math>K(x)=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-x^2\sin^2\varphi}}</math>

<math>p_n=i\frac{K(1-k^2)}{K(k^2)}+16n,n=0,1,2,3,4 </math> для всех 5 корней

2) Для <math>j=0,1,2,3,4</math> определим:

<math>S_j=\left(e^{\frac{\pi i }{4}}\right)^j \frac{\sqrt{2}\eta(\tau_j)\eta^2(4\tau_j)}{\eta^3(2\tau_j)},\tau_j=\frac{p_n+2j}{10}</math>

<math>\eta(x)=e^{\frac{\pi i x}{12}}\prod_{k=1}^\infty(1-e^{2\pi i k x})</math>- Шаблон:Iw

<math>S_5=\frac{\sqrt{2}\eta \left(\frac{5p_n}{2}\right)\eta^2(10p_n)}{\eta^3(5p_n)}.</math>

Тогда: <math>x_n=\frac{\pm1}{2\cdot 5^{\frac{3}{4}}}\cdot \frac{k^{\frac{2}{8}}}{\sqrt{k-k^3}}\cdot(S_0+S_5)(S_1+iS_4)(iS_2+S_3)</math>, знак выбирается соответственно.

Вывод Глассера

По М. Л. Глассеру (см. ссылку внизу) можно найти решение любого полиномиального уравнения из трёх слагаемых вида:

В частности, произвольное уравнение пятой степени может быть сведено к такой форме с помощью преобразований Чирнхгауза, показанных выше. Возьмём <math>x = \zeta^{-1/(N-1)}</math>, где общая форма:

<math>

\zeta = e^{2\pi i} + t\phi(\zeta),</math> а

<math>

\phi(\zeta) = \zeta^{N/(N-1)}</math>

Формула Лагранжа показывает, что любая аналитическая функция f в окрестности корня преобразованного общего уравнения относительно ζ может быть выражена в виде бесконечного ряда:

<math>

f(\zeta) = f(e^{2\pi i}) + \sum^\infty_{n=1} \frac{t^n}{n!}\frac{d^{n-1}}{da^{n-1}}[f'(a)|\phi(a)|^n]_{a = e^{2\pi i}} </math> Если мы положим <math>f(\zeta) = \zeta^{-1/(N-1)}</math> в этой формуле, то сможем получить корень:

<math>

x_1 = \exp(-2\pi i/(N -1)) - \frac{t}{N-1}\sum^\infty_{n=0}\frac{(te^{2\pi i/(N-1)})^n}{\Gamma(n + 2)}\frac{\Gamma(\frac{Nn}{N-1} + 1)}{\Gamma(\frac{n}{N-1} + 1)} </math> Следующие N-2 корня могут быть найдены заменой <math>\exp(-2\pi i / (N -1))</math> на другие корни (N-1)-й степени из единицы, а последний корень - из теоремы Виета (например, используя тот факт, что сумма всех корней многочлена трёхчленной формы, приведённой выше, равна 1). С помощью Шаблон:Iw вышеуказанный бесконечный ряд может быть разбит в конечную сумму гипергеометрических функций:

<math>

\psi(q) = (\frac{\omega t}{N-1})^q n^{qN/(N-1)}\frac{\prod^{N-1}_{k=0}\Gamma(\frac{Nq/(N-1) + 1 + k}{N})}{\Gamma(\frac{q}{N-1} + 1)\prod^{N-2}_{k=0}\Gamma(\frac{q+k+2}{N-1})} </math>

<math>

x_1 = \omega^{-1} - \frac{t}{(N-1)^2}\sqrt{\frac{N}{2\pi(N-1)}}\sum^{N-2}_{q=0}\psi(q)_{N+1}F_N \begin{bmatrix} \frac{qN/(N-1)+1}{N}, \ldots, \frac{qN/(N-1) + N}{N}, 1; \\ \frac{q+2}{N-1}, \ldots, \frac{q+N}{N-1}, \frac{q}{N-1}+1; \\ (\frac{t\omega}{N-1})^{N-1}N^N) \end{bmatrix} </math> где <math>\omega = \exp(2\pi i/(N-1))</math>.

<math>

{}_{ax^N+bx^2 + c=0,N\equiv 1\pmod{2}}</math>

<math>{}_{

x_{N}=-\frac{a}{2b}\sqrt{\left(\frac{c}{b}\right)^{N-1}}{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} \frac{N+1}{2N},\frac{N+3}{2N},\cdots,\frac{N-2}{N},\frac{N-1}{N},\frac{N+1}{N},\frac{N+2}{N},\cdots,\frac{3N-3}{2N},\frac{3N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{N+1}{2N-4},\frac{N+3}{2N-4},\cdots,\frac{N-4}{N-2},\frac{N-3}{N-2},\frac{N-1}{N-2},\frac{N}{N-2},\cdots,\frac{3N-5}{2N-4},\frac{3}{2};\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix} +\sqrt{\frac{c}{b}}{\rm{i}}{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} \frac{1}{2N},\frac{3}{2N},\cdots,\frac{N-4}{2N},\frac{N-2}{2N},\frac{N+2}{2N},\frac{N+4}{2N},\cdots,\frac{2N-3}{2N},\frac{2N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{3}{2N-4},\frac{5}{2N-4},\cdots,\frac{2N-3}{2N-4};\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix} }</math>

<math>{}_{

x_{N-1}=-\frac{a}{2b}\sqrt{\left(\frac{c}{b}\right)^{N-1}}{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} \frac{N+1}{2N},\frac{N+3}{2N},\cdots,\frac{N-2}{N},\frac{N-1}{N},\frac{N+1}{N},\frac{N+2}{N},\cdots,\frac{3N-3}{2N},\frac{3N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{N+1}{2N-4},\frac{N+3}{2N-4},\cdots,\frac{N-4}{N-2},\frac{N-3}{N-2},\frac{N-1}{N-2},\frac{N}{N-2},\cdots,\frac{3N-5}{2N-4},\frac{3}{2};\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix} -\sqrt{\frac{c}{b}}{\rm{i}}{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} \frac{1}{2N},\frac{3}{2N},\cdots,\frac{N-4}{2N},\frac{N-2}{2N},\frac{N+2}{2N},\frac{N+4}{2N},\cdots,\frac{2N-3}{2N},\frac{2N-1}{2N};\\[8pt]

\frac{3}{2N-4},\frac{5}{2N-4},\cdots,\frac{2N-3}{2N-4};\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix} }</math>

<math>{}_{

x_n=-e^{\frac{2n\pi{\rm{i}}}{N-2}}\sqrt[N-2]{\frac{b}{a}}{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} -\frac{1}{N\left(N-2\right)},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{1}{N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{2}{N},\cdots,-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{1}{N},\frac{N-5}{2N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-3}{2N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N+1}{2N},-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N+3}{2N},\cdots,-\frac{1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-1}{N},;\\[8pt]

\frac{1}{N-2},\frac{2}{N-2},\cdots,\frac{2N-5}{2N-4},;\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix} +\sqrt[N-2]{\frac{b}{a}}\sum^{N-3}_{q=1}\frac{\Gamma\left(\frac{2q-1}{N-2}+q\right)}{\Gamma\left(\frac{2q-1}{N-2}+1\right)}\cdot\left(-\frac{c}{b}\sqrt[N-2]{\frac{a^2}{b^2}}\right)^q\cdot\frac{e^{\frac{2n\left(1-2q\right)}{N-2}\pi{\rm{i}}}}{q!}{}_{N-1}F_{N-2} \begin{bmatrix} \frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)},\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{1}{N},\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{2}{N},\cdots,\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-3}{2N},\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N+1}{2N},\cdots,\frac{Nq-1}{N\left(N-2\right)}+\frac{N-1}{N};\\[8pt]

\frac{q+1}{N-2},\frac{q+2}{N-2},\cdots,\frac{N-4}{N-2},\frac{N-3}{N-2},\frac{N-1}{N-2},\frac{N}{N-2},\cdots,\frac{q+N-2}{N-2},\frac{2q+2N-5}{2N-4};\\[8pt] -\frac{a^2c^{N-2}}{4b^N\left(N-2\right)^{N-2}} \end{bmatrix},n=1,2,\cdots,N-2 }</math>

Корни уравнения тогда можно представить как сумму самое большее N-1 гипергеометрических функций. Применяя этот метод к редуцированной форме Бринга-Жеррара, определим следующие функции:

<math>

\begin{matrix} F_1(t) & = & F_2(t)\\ F_2(t) & = & \,_4F_3(1/5, & 2/5, & 3/5, & 4/5; & 1/2, & 3/4, & 5/4; & 3125t^4/256)\\ F_3(t) & = & \,_4F_3(9/20, & 13/20, & 17/20, & 21/20; & 3/4, & 5/4, & 3/2; & 3125t^4/256)\\ F_4(t) & = & \,_4F_3(7/10, & 9/10 , & 11/10, & 13/10; & 5/4, & 3/2, & 7/4; & 3125t^4/256) \end{matrix} </math> которые суть гипергеометрические функции, присутствующие в рядах выше. Корни уравнения пятой степени тогда:

<math>

\begin{matrix} x_1 & = & -t^4F_1(t) \\ x_2 & = & -F_1(t) & + \frac{1}{4}tF_2(t) & + \frac{5}{32}t^2F_3(t) & + \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\ x_3 & = & -F_1(t) & + \frac{1}{4}tF_2(t) & - \frac{5}{32}t^2F_3(t) & + \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\ x_4 & = & -iF_1(t) & + \frac{1}{4}tF_2(t) & - \frac{5}{32}it^2F_3(t) & - \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\ x_5 & = & iF_1(t) & + \frac{1}{4}tF_2(t) & + \frac{5}{32}it^2F_3(t) & - \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\ \end{matrix} </math> Это по существу тот же результат, что был получен методом дифференциальной резольвенты, разработанным Шаблон:Iw} и Робертом Харлеем в 1860 году.

Дифференциальная резольвента

Функция φ может быть определена так:

<math>

\begin{align} \frac{d f[\phi(a)]}{da} = 0 \\[6pt] \frac{d^2 f[\phi(a)]}{da^2} = 0 \\[6pt] \frac{d^3 f[\phi(a)]}{da^3} = 0 \\[6pt] \frac{d^4 f[\phi(a)]}{da^4} = 0 \end{align} </math> Тогда дифференциальная резольвента такова:

<math>

\frac{(256 - 3125a^4)}{1155}\frac{d^4\phi}{da^4} - \frac{6250a^3}{231}\frac{d^3\phi}{da^3} - \frac{4875a^2}{77}\frac{d^2\phi}{da^2} - \frac{2125a}{77}\frac{d\phi}{da} + \phi = 0 </math>

См. также

Теория уравнений

Внешние ссылки

M.L. Glasser. The Quadratic Formula Made Hard: A Less Radical Approach to Solving Equations. Статья доступна на arXiv.org здесь Шаблон:Недоступная ссылка
A.V. Gruzdov, S.V. Berezin. Absolute ultraradical 2018г, brn 2023г

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Корень Бринга

Содержание

Нормальная форма Бринга — Жерара

Корни Бринга

Решение общего уравнения пятой степени

Примеры

График функции

Разрешимые классы уравнений 5 степени

Другие свойства

Разрешимость в радикалах

Разложение в ряд при <math>x\rightarrow\infty</math>

Разложение в ряд при <math>x\rightarrow0</math>

Частные значения

Решение через пределы

Решение через тета функции

Вывод Глассера

Дифференциальная резольвента

См. также

Внешние ссылки

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты