Русская Википедия:Корень многочлена
Корень многочлена (не равного тождественно нулю)
- <math>a_0+a_1x+\dots+a_nx^n</math>
над полем <math>K</math> — это элемент <math>c\in K</math> (либо элемент расширения поля <math>K</math>) такой, что выполняются два следующих равносильных условия:
- данный многочлен делится на многочлен <math>x-c</math>;
- подстановка элемента <math>c</math> вместо <math>x</math> обращает уравнение
- <math>a_0+a_1x+\dots+a_nx^n=0</math>
в тождество, то есть значение многочлена становится равным нулю.
Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.
Говорят, что корень <math>c</math> имеет Шаблон:Якорь2 <math>m</math>, если рассматриваемый многочлен делится на <math>(x-c)^m</math> и не делится на <math>(x-c)^{m+1}.</math> Например, многочлен <math>x^2-2x+1</math> имеет единственный корень, равный <math>1</math> кратности <math>2</math>. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.
Говорят, что многочлен имеет <math>n</math> корней без учёта кратности, если каждый его корень учитывается при подсчёте один раз. Если же каждый корень учитывается количество раз, равное его кратности, то говорят, что подсчёт ведётся с учётом кратности.
Свойства
- Количество корней многочлена с учётом кратности не меньше, чем без учёта кратности.
- Число корней многочлена степени <math>n</math> не превышает <math>n</math> даже в том случае, если кратные корни считать с учётом кратности.
- Всякий многочлен <math>p(x)</math> с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень (основная теорема алгебры).
- Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля на месте поля комплексных чисел (по определению).
- Более того, многочлен с вещественными коэффициентами <math>p(x)</math> можно записать в виде
- <math>p(x) = a(x-c_1)(x-c_2)\ldots(x-c_n),</math>
- где <math>c_1,c_2,\ldots,c_n</math> — (в общем случае комплексные) корни многочлена <math>p(x)</math>, возможно с повторениями, при этом если среди корней <math>c_1,c_2,\ldots,c_n</math> многочлена <math>p(x)</math> встречаются равные, то их общее значение называется кратным корнем, а количество — кратностью этого корня.
- Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени <math>n</math> с учётом кратности равно <math>n</math>. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности. Таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь с учётом кратности только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
- Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.
Нахождение корней
Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов в общем виде, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время, пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.
То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов (то есть то, что сами уравнения не являются разрешимыми в радикалах), было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году[1]. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, при некоторых особых комбинациях коэффициентов корни уравнения всё же могут быть определены (см., например, возвратное уравнение). Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., например, корень Бринга).
В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL -алгоритм.
Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона, Метод Лобачевского — Греффе. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть определено при помощи теоремы Штурма.
См. также
- Схема Горнера
- Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени.
- Нуль функции
Примечания
Литература
