Русская Википедия:Корни из единицы
Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена <math>x^n-1</math>, где <math>n \geqslant 1</math>. Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равнаШаблон:Nbsp1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена <math>x^n - 1</math> не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика <math>p</math> которого не является делителем степени <math>n</math> многочленаШаблон:Sfn.
Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье[1], теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.
Представление
Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:
- <math>1 = \cos 0 + i \sin 0.</math>
Тогда по формуле Муавра получим выражениеШаблон:Sfn для <math>k</math>-го корня n-й степени из единицы <math>u_k</math>:
- <math>u_k = \cos\frac{2\pi k}{n} + i \sin\frac{2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, \dots, n - 1.</math>
Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:
- <math>u_k = e^{\frac{2\pi k}{n} i}, \quad k = 0, 1, \dots, n - 1.</math>
Из этих формул вытекает, что корней n-й степени из единицы всегда ровно <math>n</math>, и все они различныШаблон:Sfn.
Примеры
Кубические корни из единицы:
- <math>\left\{1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}.</math>
Корни 4-й степени из единицы:
- <math>\left\{1, +i, -1, -i \right\}.</math>
Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:
- <math>\Big\{e^{\frac{2 \pi i k}{5}} \,\Big|\, k \in \{1, 2, 3, 4\}\Big\} = \left\{\left. \frac{u \sqrt{5} - 1}{4} + v\sqrt{\frac{5 + u\sqrt{5}}8}i \,\right|\, u, v \in \{-1, 1\}\right\}.</math>
Для корня 6-й степени порождающих элементов только два (<math>u_1</math> и <math>u_5</math>):
- <math>\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}.</math>
Свойства
Геометрические свойства
Модуль каждого корня равенШаблон:Nbsp1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица <math>1 + 0i.</math> Вещественных корней может быть либо два, если <math>n</math> чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если <math>n</math> нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если <math>u_k</math> — корень из единицы, то сопряжённое к нему число <math>\overline{u_k}</math> — тоже корень из единицыШаблон:Sfn.
Пусть M — произвольная точка единичной окружности и <math>n > 1.</math> Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней <math>n</math>-й степени из единицы равна <math>2n</math>[2].
Алгебраические свойства
Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.
Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка <math>n</math>. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единицаШаблон:Sfn.
Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов <math>\mathbb{Z}_n.</math> Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент <math>u_k</math>, индекс <math>k</math> которого взаимно прост с <math>n</math>.
СледствияШаблон:Sfn:
- элемент <math>u_1</math> всегда является первообразным (его часто называют главным корнем из единицы);
- если <math>n</math> — простое число, то степени любого корня, кроме <math>\pm 1</math>, охватывают всю группу (то есть все корни, кроме <math>\pm 1</math>, являются первообразными);
- число первообразных корней равно <math>\varphi(n)</math>, где <math>\varphi</math> — функция Эйлера.
Если <math>n > 1</math>, то для любого первообразного корня из единицы <math>u</math> имеют место формулы
- <math>\sum_{k=0}^{n-1} u^k = \frac{u^n - 1}{u - 1} = 0,</math>
- <math>\prod_{k=1}^{n-1} |1 - u_k| = n.</math>
Круговые поля
Шаблон:Main Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле <math>K_n = \mathbb{Q}(u)</math>, порождённое присоединением к полю рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> первообразного корня n-й степени из единицы <math>u</math>. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.
Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.
Пример: <math>K_3</math> состоит из комплексных чисел вида <math>a + b \sqrt{3}\,i</math>, где <math>a, b</math> — рациональные числа.
Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.
Обобщения
Корни из единицы n-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля <math>K</math> как решения уравнения <math>x^n=1</math>, где <math>1</math> — единица поля <math>K</math>. Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля <math>K</math>. Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля <math>K</math> содержит только корни из единицы и является циклическойШаблон:Sfn.
Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы совместно с нулём образует конечное поле.
История
Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:
- <math>x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1 = 0.</math>
Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если n может быть представлено в виде <math>2^{2^r} + 1</math>. Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год)[3].
Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории ГалуаШаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
