Русская Википедия:Корона (теория графов)
вершин = 2 n
рёбер = n (n — 1)
хроматическое число = <math>\left\{\begin{array}{ll}1 & n = 1\\ 2 & \text{otherwise}\end{array}\right.</math>
радиус = <math>\left\{\begin{array}{ll}\infty & n \le 2\\ 3 & \text{otherwise}\end{array}\right.</math>
диаметр = <math>\left\{\begin{array}{ll}\infty & n \le 2\\ 3 & \text{otherwise}\end{array}\right.</math>
обхват = <math>\left\{\begin{array}{ll}\infty & n \le 2\\ 6 & n = 3\\ 4 & \text{otherwise}\end{array}\right.</math>
свойства = дистанционно-транзитивный
обозначение = <math>S_n^0</math>
В теории графов короной с 2n вершинами называется неориентированный граф с двумя наборами вершин ui и vi и рёбрами между ui и vj, если i ≠ j. Можно рассматривать корону как полный двудольный граф, из которого удалено совершенное паросочетание, как двойное покрытие двудольным графом полного графа, или как двудольный граф Кнезера Hn,1, представляющий подмножества из 1 элемента и (n − 1) элементов множества из n элементов с рёбрами между двумя подмножествами, если одно подмножество содержится в другом.
Примеры
Корона с шестью вершинами образует цикл, а корона с восемью вершинами изоморфна графу куба. В двойной шестёрке Шлефли конфигурации 12 прямых и 30 точек в трёхмерном пространстве, двенадцать прямых пересекают друг друга по схеме короны с 12 вершинами.
Свойства
Число рёбер в короне является прямоугольным числом n(n − 1). Её ахроматическое число равно n — можно найти полную раскраску путём выбора пары {ui, vi} в качестве классов цвета[1]. Короны являются симметричными и дистанционно-транзитивными графами. Архдьякон с соавторами[2] описывают разбиение рёбер короны на циклы равной длины.
Корону с 2n вершинами можно вложить в четырёхмерное евклидово пространство так, что все её рёбра будут иметь длину единица. Однако такое вложение может поместить несмежные вершины на расстояние единица. Вложение, при котором рёбра имеют длину единица, а расстояние между любыми несмежными вершинами не равно единице, требует как минимум размерности n − 2. Это показывает, что для представления графа в виде графа единичных расстояний и графа строго единичных расстояний требуются совсем различные размерности[3]. Минимальное число полных двудольных подграфов, требующихся для покрытия рёбер короны (её двудольная размерность, или размер минимального покрытия кликами) равно
- <math>\sigma(n)=\min \left\{\,k \mid n \le \binom{k}{\lfloor k/2 \rfloor} \,\right\},</math>
то есть обратная функция центрального биномиального коэффициента[4].
Дополнением короны с 2n вершинами является прямое произведением полных графов K2 <math>\square</math> Kn, что эквивалентно ладейному графу 2 × n.
Приложение
В этикете — традиционных правилах рассаживания гостей за обеденным столом — мужчины и женщины должны перемежаться и ни одна семейная пара не должна сидеть рядом. Рассаживание, удовлетворяющее этим правилам для вечеринки n семейных пар, можно описать как гамильтонов цикл короны. Задача подсчёта числа возможных рассаживаний или, что почти то же самое[5], что число гамильтоновых циклов в короне известна в комбинаторике как задача о гостях. Для корон с числом вершин 6, 8, 10, … число (ориентированных) гамильтоновых циклов равно
- 2, 12, 312, 9600, 416880, 23879520, 1749363840, … Шаблон:OEIS.
Короны можно использовать, чтобы показать, что алгоритм жадной раскраски ведёт себя плохо в некоторых случаях — если вершины короны представлены алгоритму в порядке u0, v0, u1, v1, и т. д., то жадная раскраска использует n цветов, хотя оптимальным числом цветов является два. Это построение приписывается Джонсону[6], а сами короны иногда называют графами Джонсона с обозначением Jn[7]. Фюрер[8] использовал короны как часть построения, показывающего сложность аппроксимации задачи раскраски.
Матушек[9]использовал расстояние в коронах как пример метрического пространства, которое трудно вложить в нормированное векторное пространство.
Как показали Миклавич и Порошник[10], короны входят в небольшое число различных типов графов, которые являются дистанционно-регулярными циркулянтными графами.
Агарвал и соавторы[11] описывают многоугольники, имеющие короны в качестве графов видимости. Они используют их в качестве примера, чтобы показать, что представление графов в виде объединения полных двудольных графов не всегда эффективно по памяти.
Корона с 2n вершинами с рёбрами, ориентированными от одной стороны двудольного графа к другой, образует стандартный пример частично упорядоченного множества с Шаблон:Не переведено 5 n.
Примечания
Ссылки
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ В задаче о гостях начальная позиция цикла существенна, так что число гамильтоновых циклов и решение задачи о гостях различаются в 2n раз.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
