Русская Википедия:Короткая арифметика Гильберта
Короткая арифметика Гильберта — пример полугруппы, иллюстрирующий тот факт, что для доказательства основной теоремы арифметики необходимо использовать свойства не только умножения, но и сложения. Этот пример принадлежит Давиду Гильберту[1].
Определение
Короткая арифметика Гильберта представляет собой множество чисел вида <math>4n+1</math>, где <math>n</math> пробегает все натуральные числа[2]:
- <math>1, 5, 9, 13, 17, \dots</math>
Иногда их называют числа Гильберта[3]. На этом множестве может быть корректно определена стандартная операция умножения, поскольку произведение двух чисел из множества дает вновь число из этого множества: <math>(4a + 1)(4b + 1) = 4(ab+a+b)+1</math>. Таким образом, короткая арифметика Гильберта является полугруппой.
Простые числа Гильберта
В арифметике Гильберта можно определить простые числа (простые числа ГильбертаШаблон:Efn) стандартным образом: число Гильберта называется простым Гильберта, если оно не делится на меньшее число Гильберта (отличное от <math>1</math>)[4][5]. Последовательность простых Гильберта начинается так[6]:
- <math>5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, \dots</math>
Простое число Гильберта не обязательно является простым в обычном смысле. Например, <math>21</math> является составным в натуральных числах, поскольку <math>21 = 3\cdot7</math>, однако оно является простым Гильберта, поскольку ни <math>3</math>, ни <math>7</math> (то есть все делители числа <math>21</math>, отличные от <math>1</math> и самого числа) не являются числами Гильберта. Из свойств умножения по модулю <math>4</math> следует, что простое Гильберта является либо простым числом вида <math>4n+1</math> (такие числа называются простыми числами Пифагора), либо полупростым вида <math>(4a + 3)(4b + 3)</math>.
Невыполняемость основной теоремы арифметики
Любое число Гильберта может быть разложено на произведение простых чисел Гильберта, однако для короткой арифметики Гильберта не выполняется основная теорема арифметики: такое разложение может быть не единственным. Например, <math>441</math> является числом Гильберта, но разлагается на простых чисел Гильберта двумя способами:
- <math> 441=9\cdot 49 = 21 \cdot 21 </math>.
где числа <math>9</math>, <math>49</math> и <math>21</math> являются простыми Гильберта[1][7].
Примечания
Комментарии
Источники
Ссылки
Шаблон:ВС Шаблон:Классы натуральных чисел
- ↑ 1,0 1,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокЖиковне указан текст - ↑ Шаблон:OEIS
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокFlanneryне указан текст - ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:OEIS
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокКострикинне указан текст
