Русская Википедия:Космологическое уравнение состояния
Космологическое уравнение состояния (уравнение состояния космологической модели) — зависимость давления от плотности энергии определённой среды. В космологии принимают, что давление <math>P</math> зависит линейно от плотности энергии <math>\varepsilon</math>: <math>P = w\varepsilon\,.</math> Уравнение состояния определяет, как со временем происходит расширение Вселенной и изменение плотности энергии самой среды. Для нерелятивисткого вещества безразмерные коэффициент пропорциональности <math>w_m = 0\,,</math> для излучения и релятивистских частиц <math>w_r = 1/3\,.</math> Среда с уравнением состояния, для которого <math>w < -1/3</math> приводит к ускорению расширения Вселенной и называется тёмной энергией; наиболее общепринятым вариантом тёмной энергии является космологическая постоянная с <math>w_\Lambda = -1\,.</math>
Описание
Уравнения состояния в общем виде могут иметь сложный вид, но поскольку космология обычно имеет дело с разреженными средами, то зависимость давления <math>P</math> от плотности энергии <math>\varepsilon</math> представляют в линейном виде: <math>P = w\varepsilon</math>, где <math>w</math> ― безразмерная величинаШаблон:Sfn.
Уравнение состояния различных сред во Вселенной и их плотность — параметры, от которых зависит расширение Вселенной. Его можно описать следующими уравнениямиШаблон:SfnШаблон:Sfn:
- <math>\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3c^2} \varepsilon - \frac{\kappa c^2}{R^2 a^2}</math>
- <math>\dot{\varepsilon} + 3 \frac{\dot{a}}{a} (\varepsilon + P) = 0</math>
Уравнение ускорения:
- <math>\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3c^2} (\varepsilon + 3P)</math>
Третье уравнение выводится из первых двух, так что в этой системе два независимых уравненияШаблон:Sfn. В этих уравнениях <math>a</math> — масштабный коэффициент ― величина, описывающая расширение или сжатие Вселенной, <math>G</math> — гравитационная постоянная, <math>c</math> — скорость света, <math>\kappa</math> — кривизна Вселенной (принимает значения <math>0</math> для плоского пространства, <math>+1</math> для пространства с положительной кривизной и <math>-1</math> с отрицательной), <math>R</math> ― радиус кривизны Вселенной. Точка или две точки над символом означает, соответственно, производную по времени или производную второго порядка по времениШаблон:Sfn.
В этих уравнениях три неизвестных функции от времени: <math>a(t)</math>, <math>\varepsilon(t)</math>, <math>P(t)</math>. Уравнение состояния даёт связь между двумя последними неизвестными, что позволяет решить систему уравнений. От его типа зависит вид решения. Например, у сред с различными коэффициентами <math>w</math> плотность энергии при расширении Вселенной меняется по-разному: из закона сохранения можно получить соотношение <math>\varepsilon \propto a^{-3 - 3w}\,.</math> При этом среды с различными уравнениями состояния могут сосуществовать одновременно: если между ними не происходит обмен энергией, то при расширении Вселенной плотность энергии каждой из сред меняется независимо от остальныхШаблон:Sfn. Для Вселенной с нулевой кривизной, содержащей только среду с определённым уравнением состояния, функция <math>a(t)</math> также будет зависеть от <math>w</math>Шаблон:Sfn:
- <math>a(t) = \left(\frac{t}{t_0}\right)^\frac{2}{3 + 3w},</math>
где <math>t_0</math> — возраст Вселенной в данный момент. Для такой однокомпонентной Вселенной возраст можно выразить через <math>w</math> и постоянную Хаббла <math>H_0 = \dot{a}/a</math> в момент <math>t_0</math>Шаблон:Sfn:
- <math>t_0 = \frac{2}{3(1 + w)} H_0^{-1}\,.</math>
В этом же случае плотность энергии меняется со временем как <math>\varepsilon(t) = (t/t_0)^{-2}\,,</math> независимо от <math>w</math>. Приведённые формулы справедливы для <math>w \ne -1</math>Шаблон:Sfn.
Можно рассмотреть обычное нерелятивистское вещество. Давление в нём пренебрежимо мало по сравнению с плотностью энергии (см. нижеШаблон:Переход), так что <math>w = 0</math>. Если вся Вселенная состоит из обычного вещества, то при расширении Вселенной и росте <math>a</math> плотность энергии такого вещества уменьшается, как следует из закона сохранения. Уравнение ускорения показывает, что <math>\ddot{a}/a < 0\,,</math> то есть, расширение Вселенной замедляется — это можно упрощённо интерпретировать как простое следствие гравитационного взаимодействия, которое замедляет разлёт частиц. Если же представить <math display="inline">w < -1/3</math>, то это будет означать, что при положительной плотности энергии, наоборот, Вселенная расширяется ускоренно ― это случай тёмной энергии (см. нижеШаблон:Переход)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Уравнения состояния различных сред
Материя
В качестве примера можно рассмотреть разреженный газ, состоящий из нерелятивистских частиц. Уравнение состояния идеального газа обычно записывают в следующем видеШаблон:Sfn:
- <math>P = \frac{\rho}{\mu}kT,</math>
где <math>\rho</math> — массовая плотность, <math>\mu</math> — молярная масса газа, <math>k</math> — постоянная Больцмана, <math>T</math> — температура. Чтобы перейти к выражению давления через плотность энергии, нужно учесть, что у нерелятивистского газа энергия практически равна энергии покоя, так что <math>\varepsilon \approx \rho c^2\,.</math> Тогда можно записатьШаблон:Sfn:
- <math>P \approx \frac{kT}{\mu c^2} \varepsilon\,.</math>
Поскольку газ нерелятивистский, то для среднеквадратичной скорости его частиц <math>\langle v^2 \rangle</math> верно соотношение <math>3kT = \mu \langle v^2 \rangle</math>, где предполагается <math>\langle v^2 \rangle \ll c^2\,.</math> Уравнение состояния можно привести к виду <math>P = w_m \varepsilon\,,</math> гдеШаблон:Sfn:
- <math>w_m \approx \frac{\langle v^2 \rangle}{3c^2} \ll 1\,.</math>
Таким образом, для нерелятивистского вещества можно считать <math>w_m = 0\,.</math> Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть холодной материей, либо просто материей, противопоставляя ей излучение (см. нижеШаблон:Переход). К ней относится не только нерелятивистское барионное вещество, сейчас составляющее 4,8 % критической плотности Вселенной, но и холодная тёмная материя[1] — принятый в стандартной модели ΛCDM вид тёмной материи, которая составляет 26 % критической плотности и имеет неизвестную природуШаблон:SfnШаблон:Sfn[2][3].
Для частично релятивистского вещества, у которого <math>0 < \langle v^2 \rangle < c^2\,,</math> <math>w</math> будет находиться в диапазоне от 0 до 1/3Шаблон:Sfn.
Излучение
Уравнение состояния для фотонов, а также для релятивистского газа записывается в видеШаблон:Sfn:
- <math>P \approx \frac{1}{3} \varepsilon\,.</math>
Соответственно, <math>w_r = 1/3\,.</math> Среду с таким уравнением состояния в космологии принято называть горячей материей, либо излучением. В современной Вселенной плотность излучения очень мала: фотоны, в основном относящиеся к реликтовому излучению, составляют 5,4Шаблон:E критической плотности, а релятивистские нейтрино ― 3,6Шаблон:E критической плотности. Из-за такого уравнения состояния плотность излучения убывает с расширением Вселенной как <math>\varepsilon_r \propto a^{-4}\,,</math> что быстрее, чем убывание плотности материи как <math>\varepsilon_m \propto a^{-3}\,.</math> Плотности материи и излучения были равны, когда Вселенной было 50 миллионов лет ― сейчас её возраст составляет 13,7 миллиардов летШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Более быстрый спад плотности энергии излучения при расширении Вселенной можно интерпретировать следующим образом. Концентрация <math>n</math> и для фотонов, и для нерелятивистских частиц меняется с масштабным коэффициентом как <math>n \propto a^{-3}\,.</math> Для нерелятивистских частиц, энергия которых практически полностью обусловлена энергией покоя, такую же пропорциональность имеет и плотность энергии. Энергию фотона <math>E</math> можно выразить через его длину волны <math>\lambda</math>: <math>E = hc/\lambda\,,</math> где <math>h</math> — постоянная Планка. Поскольку длина волны фотона увеличивается вместе с расширением Вселенной — <math>\lambda \propto a</math>, то для фотонов <math>\varepsilon_r = nE = n(hc/\lambda) \propto a^{-3} a^{-1} = a^{-4}</math>Шаблон:Sfn.
Кривизна пространства
Кривизну пространства также можно представить в виде составляющей Вселенной и использовать плотность кривизны в уравнениях, описывающих расширение Вселенной. Для кривизны <math>w_K = -1/3</math> и <math>\varepsilon_K \propto a^{-2}\,.</math> Плотность кривизны точно определяется через радиус кривизны[4]:
- <math>\varepsilon_K = -\frac{3}{8 \pi G a^2 R^2}\,.</math>
Наблюдения показывают, что наша Вселенная практически плоская, с радиусом кривизны гораздо большим, чем радиус горизонта, и плотность кривизны считают нулевой[4]Шаблон:Sfn.
Тёмная энергия
Различные среды с уравнениями состояния, для которых <math>w < -1/3</math>, называют тёмной энергией. Особенность такого уравнения состояния в том, что при положительной плотности тёмной энергии уравнение ускорения даёт <math>\ddot{a}/a > 0\,,</math> что означает ускоренное расширение Вселенной. Тёмная энергия имеет неизвестную природу, но поскольку ускоренное расширение Вселенной наблюдается в действительности, тёмная энергия — необходимая составляющая ВселеннойШаблон:Sfn[5].
Наиболее общепринятый вариант тёмной энергии — космологическая постоянная (лямбда-член) с <math>w_\Lambda = -1\,.</math> При таком уравнении состояния плотность тёмной энергии остаётся постоянной при расширении Вселенной, поэтому космологическую постоянную также интерпретируют как энергию вакуума. Плоская Вселенная, в которой доминирует космологическая постоянная, будет расширяться экспоненциально: <math>a(t) = e^{H_0(t - t_0)}</math>Шаблон:Sfn.
В модели ΛCDM используется именно этот вид тёмной энергии, её плотность составляет 69 % критической плотности. В возрасте Вселенной в 10,2 миллиарда лет доли материи и космологической постоянной во Вселенной были равны. Кроме того, космологическая постоянная — исторически первый рассмотренный вид тёмной энергии: первоначально Альберт Эйнштейн ввёл его для построения модели Шаблон:Нп3 в 1917 годуШаблон:Sfn.
Тем не менее, не исключены и другие уравнения состояния тёмной энергии. Например, возможный вариант тёмной энергии с <math>w < -1</math> называется фантомной энергией — при расширении её плотность энергии возрастает. Если в расширяющейся Вселенной присутствует фантомная энергия, то её плотность рано или поздно будет превышать плотность энергии любых гравитационно связанных систем и других тел, что приведёт к их разрушению, а масштабный коэффициент достигнет бесконечности за конечное время — это сценарий Большого разрываШаблон:Sfn.
Также не исключена и возможность того, что <math>w</math> тёмной энергии меняется со временем — подобный вид тёмной энергии называют квинтэссенцией[6].
Примечания
Литература
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Космология Шаблон:Добротная статья
