Русская Википедия:Коэффициенты Клебша — Гордана
Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.
Коэффициенты Клебша — Гордана названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).
Взаимодействие моментов импульса
См. также статью Оператор момента импульса.
Рассмотрим два момента импульса <math>J_1</math> и <math>J_2</math>, которые обладают квантовыми числами <math>j_1</math> и <math>m_1</math> (<math>z</math>-компонента) и <math>j_2</math> и <math>m_2</math>. При этом <math>m_1</math> и <math>m_2</math> принимают значения <math>m_1=[-j_1,\;\ldots,\;j_1]</math> и <math>m_2=[-j_2,\;\ldots,\;j_2]</math> соответственно. Моменты импульса коммутируют <math>[J_1,\;J_2]=0</math>, что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): <math>\left|j_1,\;m_1\right\rangle</math> или <math>\left|j_2,\;m_2\right\rangle</math>. В базисе <math>\left|j_1,\;m_1\right\rangle</math> момент <math>J_1</math> принимает простой диагональный вид, аналогично <math>J_2</math> в базисе <math>\left|j_2,\;m_2\right\rangle</math>.
При взаимодействии, оба момента импульса <math>J_1</math> и <math>J_2</math> складываются в общий момент <math>\vec{J}=\vec{J_1}+\vec{J_2}</math>, который обладает квантовыми числами <math>J</math> и <math>M</math>, принимающими следующие значения
- <math>|j_1-j_2|\leqslant J\leqslant|j_1+j_2|</math> и <math>M=[-J,\;\ldots,\;J]</math> (с шагом 1).
Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса <math>J_1</math> и <math>J_2</math>, то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:
- <math>\left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle=\left|j_1,\;m_1\right\rangle\otimes\left|j_2,\;m_2\right\rangle.</math>
Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса <math> \vec{J} </math> и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.
Базис собственных векторов суммарного момента импульса
Собственные векторы момента <math> \vec{J} </math> однозначно определяются квантовыми числами <math>J</math>, <math>M</math>, <math>j_1</math> и <math>j_2</math>. В базисе этих векторов суммарный момент <math>J</math> принимает простую диагональную форму. А именно
- <math>\vec{J}\,^2\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=J(J+1)\hbar^2\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle;</math>
- <math>J_z\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=M\hbar\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle.</math>
Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов <math>\left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle</math> в базис собственных векторов <math>\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle</math>.
- <math>\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=\sum_{m_1,\;m_2}\left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle.</math>
Здесь <math>\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle </math> являются коэффициентами Клебша — Гордана.
Свойства коэффициентов Клебша — Гордана
- Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий <math>|j_1-j_2|\leqslant J\leqslant j_1+j_2</math> и <math>M=m_1+m_2</math>:
- <math>\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\neq0\quad\Rightarrow\quad|j_1-j_2|\leqslant J\leqslant j_1+j_2\;\wedge\;M=m_1+m_2.</math>
- Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:
- <math>\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\in\R.</math>
- Коэффициент Клебша — Гордана при <math>M=J</math> задают положительным:
- <math>\langle j_1,\;j_1;\;j_2,\;J-j_1\vert J,\;J,\;j_1,\;j_2\rangle>0.</math>
- Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при <math>M=-M</math>:
- <math>\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=(-1)^{j_1+j_2-J}\langle j_1,\;-m_1;\;j_2,\;-m_2\vert J,\;-M,\;j_1,\;j_2\rangle.</math>
- Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
- <math>\sum_{m_1,\;m_2}\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J',\;M',\;j_1,\;j_2\rangle=\delta_{JJ'}\delta_{MM'}.</math>
- Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
- <math>\sum_{J,\;M}\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\langle j_1,\;m'_1;j_2,\;m'_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=\delta_{m_1m'_1}\delta_{m_2m'_2}.</math>
Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана
Собственное состояние с <math>J=j_1+j_2</math> и <math>M=J</math> непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)
- <math>|j_1+j_2,\;j_1+j_2,\;j_1,\;j_2\rangle=|j_1,\;j_1;\;j_2,\;j_{2}\rangle.</math>
Применением оператора уменьшения <math>J_-=J_{1\,-}+J_{2\,-}</math> можно получить состояния от <math>|j_1+j_2,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle</math> до <math>|j_1+j_2,\;-j_1-j_2,\;j_1,j_2\rangle</math>, или же все состояния с <math>J=j_1+j_2</math> и <math>M=-J,\;\ldots,\;J=-j_1-j_2,\;\ldots,\;j_1+j_2</math>.
Состояние <math>|j_1+j_2-1,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle</math> можно получить из условия ортогональности к состоянию <math>|j_1+j_2,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle</math> и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при <math>M=J</math> является положительным.
Применением оператора уменьшения к <math>J=j_1+j_2-1</math> можно опять получить все состояния с <math>M=-j_1-j_2+1,\;\ldots,\;j_1+j_2-1</math>. Итеративно можно применять эту процедуру для всех <math>J</math> до <math>J=|j_1-j_2|</math>.
На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:
- <math>\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=\sqrt{2j+1}\sqrt{\Delta_{j_1j_2j}}\sqrt{\dfrac{(j_1+m_1)!(j-m)!}{(j_1-m_1)!(j_2+m_2)!(j_2-m_2)!(j+m)!}}\times</math>
- <math>\times\sum_{s=\max(m_1+m_2,\;j_1-j_2)}^j\dfrac{(-1)^{j_1+m_2-s}(j+s)!(j_2+s-m_1)!}{(j-s)!(s-m_1-m_2)!(s-j_1+j_2)!(j_1+j_2+s+1)!},</math>
где
- <math>\Delta_{j_1j_2j}=\frac{(j_1+j_2-j)!(j_2+j-j_1)!(j+j_1+j_2+1)!}{(j_1-j_2+j)!}.</math>
Если <math>j_1-j_2</math> — целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям <math>s</math>, а если <math>j_1-j_2</math> — полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям <math>s</math>.
Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)
Рассмотрим группу <math>G</math> и её представление. Выберем базисные вектора <math>\psi_\mu^{(\alpha)}</math> и <math>\psi_\nu^{(\beta)}</math> неприводимых представлений <math>D^{(\alpha)}</math> и <math>D^{(\beta)}</math> этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность <math>f_k</math> операторов <math>\{\hat F^{(k)}_\chi\}_1^{f_k}</math>, если в результате преобразований <math>g</math>, образующих группу <math>G</math>, компоненты тензора <math>\hat F_\chi^{(k)}</math> преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям <math>D^{(k)}</math> этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:
- <math>\tilde\hat F_\chi^{(k)}=\sum_{\chi'}D^{(k)}_{\chi'\chi}(g)\hat F_{\chi'}^{(k)}.</math>
Векторы <math>|\hat F^{(k)}_\chi\psi^{(\beta)}_\nu\rangle </math>, где <math>\chi=1,\;2,\;\ldots,\;f_k;\;\nu=1,\;2,\;\ldots,\;f_\beta</math> образуют базис представления <math>D^{(k)}\times D^{(\beta)}</math>. Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений <math>D^{(\gamma)}</math>, на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы <math>G</math> <math>\langle k\chi,\;\beta\nu\vert \gamma\rho\rangle</math>.
- <math>|\hat F_\chi^{(k)}\psi_\nu^{(\beta)}\rangle=\sum_{\gamma\rho}\langle k\chi,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{\hat F^{(k)}\psi^{(\beta)}\}_\rho^\gamma.</math>
Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений <math>\hat D^{(\gamma)}</math> в линейную комбинацию прямого произведения представлений <math>\hat D^{(\alpha)}\times\hat D^{(\beta)}</math>.
- <math>\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma=\sum_{\mu,\;\nu}\langle\alpha\mu,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle V_\mu^{(\alpha)}V_\nu^{(\beta)},</math>
где <math>V_\mu^{(\alpha)}, V_\nu^{(\beta)}</math> — базисные векторы представлений <math>\hat D^{(\alpha)},\;\hat D^{(\beta)}</math>, а <math>\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma</math> — базисные векторы представления <math>\hat D^{(\gamma)}</math>: <math>\hat D^{(\alpha)}\times\hat D^{(\beta)}=\sum_\gamma^\oplus a^{(\gamma)}\hat D^{(\gamma)}</math>.
- Из определения коэффициентов Клебша — Гордана следует: <math>V_\mu^{(\alpha)}V_\nu^{(\beta)}=\sum_{\gamma\rho}\langle\alpha\mu,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma</math>.
- Коэффициенты Клебша — Гордана образуют унитарную матрицу.
См. также
Ссылки
Таблица с примерами для некоторых значений <math>j_1</math> и <math>j_2</math> (PDF, 70 kB) (Примечание: в данной таблице подразумевается, что от значения коэффициента нужно взять квадратный корень)
Литература
- Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — Издательство Литература, 1963.
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-ое изд. — Наука, 1976. — 664 с.
