Русская Википедия:Коэффициенты формул численного дифференцирования

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математике для приближённого вычисления производных заданной таблично функции можно искать выражение значений производных через известные значения функции с помощью подходящего набора коэффициентов. Для этого можно использовать различные интерполяционные формулы или метод неопределённых коэффициентов.

Равноотстоящие узлы

Пусть <math>x_0</math> — точка, в которой необходимо вычислить производные достаточно гладкой функции <math>f</math>, <math>x_k = x_0 + kh</math> — сетка равноотстоящих узлов с шагом <math>h</math> и известны значения функции <math>f</math> в этих узлах. В этом случае можно выразить формулы численного дифференцирования непосредственно через значения функции <math>f</math> с помощью интерполяционной формулы Лагранжа. Такие формулы называются также безразностными, так как не требуют вычисления конечных или разделённых разностейШаблон:Sfn.

В зависимости от расположения точки <math>x_0</math> в сетке узлов (слева, справа или посередине) различают соответственно коэффициенты, вычисленные «вперёд», «назад» и симметричные коэффициенты.

Симметричные коэффициенты

Для получения симметричных коэффициентов число узлов в сетке должно быть нечётным. Тогда порядок погрешности приближения будет чётным числом.

Порядок производной	Порядок погрешности	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
1	2					−1/2	0	1/2
	4				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					1	−2	1
	4				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	1	0	−1	1/2
	4			1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2				1	−4	6	−4	1
	4			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	4		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			1	−6	15	−20	15	−6	1
	4		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

Например, третья производная с погрешностью второго порядка вычисляется как

<math>f(x_0) = \frac{-\frac{1}{2}f(x_{-2}) + f(x_{-1}) -f(x_{+1}) + \frac{1}{2}f(x_{+2})}{h^3} + O\left(h^2 \right)~.</math>

Коэффициенты вперёд

Порядок производной	Порядок погрешности	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Например, первая производная с погрешностью третьего порядка и вторая производная с погрешностью второго порядка вычисляются как

<math>f'(x_0) = \frac{-\frac{11}{6}f(x_0) + 3f(x_{+1}) -\frac{3}{2}f(x_{+2}) +\frac{1}{3}f(x_{+3}) }{h} + O\left(h^3 \right)~, </math>

<math>f(x_0) = \frac{2f(x_0) - 5f(x_{+1}) + 4f(x_{+2}) - f(x_{+3}) }{h^2} + O\left(h^2 \right)~. </math>

Нетрудно видеть, что коэффициенты для погрешности первого порядка представляют собой биномиальные коэффициенты с меняющимися знаками, что соответствует общей формуле для восходящих конечных разностей.

Коэффициенты назад

Для получения коэффициентов назад необходимо обратить знаки у коэффициентов вперёд для производных нечётных порядков и зеркально отразить таблицу коэффициентов справа налево:

Порядок производной	Порядок погрешности	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1					−1	1
	2				1/2	−2	3/2
	3			−1/3	3/2	−3	11/6
2	1				1	−2	1
	2			−1	4	−5	2
3	1			−1	3	−3	1
	2		3/2	−7	12	−9	5/2
4	1		1	−4	6	−4	1
	2	−2	11	−24	26	−14	3

Например, первая производная с погрешностью третьего порядка и вторая производная с погрешностью второго порядка вычисляются как

<math>f'(x_0) = \frac{\frac{11}{6}f(x_0) - 3f(x_{-1}) +\frac{3}{2}f(x_{-2}) -\frac{1}{3}f(x_{-3}) }{h} + O\left(h^3 \right)~, </math>

<math>f(x_0) = \frac{2f(x_0) - 5f(x_{-1}) + 4f(x_{-2}) - f(x_{-3}) }{h^2} + O\left(h^2 \right)~. </math>

Произвольная сетка узлов

Для получения коэффициентов для произвольно расположенных узлов <math>x_0,\ldots,x_N</math> удобно использовать метод неопределённых коэффициентовШаблон:Sfn. Для этого значение искомой производной порядка <math>k</math> в точке <math>x_j</math> записывается в виде

<math> f^{(k)} (x_j) = \sum\limits_{i=0}^N c_i f(x_i) + R(f)~,</math>

где

<math>c_i</math> — неизвестные коэффициенты,

<math>R</math> — остаточный член интерполяции.

Коэффициенты <math>c_i</math> подбираются из условия <math>R(f)=0</math>, которое должно выполняться для функций <math>1</math>, <math>x</math>, <math>x^2</math>,..., <math>x^N</math>. Получается следующая система линейных уравнений:

<math> \left( \begin{array}{cccc}

1 &1 &\ldots &1 \\ x_0 &x_1 &\ldots &x_N \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ x_0^{k-1} &x_1^{k-1} &\ldots &x_N^{k-1} \\ x_0^k &x_1^k &\ldots &x_N^k \\ x_0^{k+1} &x_1^{k+1} &\ldots &x_N^{k+1} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ x_0^N &x_1^N &\ldots &x_N^N \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{k-1} \\ c_k \\ c_{k+1} \\ \vdots \\ c_N \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ k! \\ (k+1)! x_j \\ \vdots \\ N(N-1)\ldots(N-k+1) x_j^{N-k} \end{array} \right)~. </math>

В этом случае погрешность вычислений будет иметь порядок <math>N-k+1</math>.

Матрица системы является матрицей Вандермонда, которая также возникает при решении общей задачи интерполяции многочленами.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Калькулятор коэффициентов для произвольных сеток узлов (численно)

См. также

• Метод конечных разностей