Русская Википедия:Коэффициент связи резонаторов
Коэффициент связи резонаторов — безразмерная величина, характеризующая степень взаимодействия двух резонаторов
Коэффициенты связи используют в теории резонаторных фильтров. Резонаторы фильтров могут быть как электромагнитными, так и акустическими. Вместе с резонансными частотами и внешними добротностями резонаторов коэффициенты связи являются обобщенными параметрами фильтров. Для осуществления настройки амплитудно-частотной характеристики фильтра бывает вполне достаточно ограничиться оптимизацией только этих обобщенных параметров.
Эволюция определения термина
Этот термин в теорию фильтров впервые ввел M. Dishal [1]. В некоторой степени он является аналогом коэффициента связи двух индуктивностей или коэффициентов связи двух колебательных контуров. Значение этого термина многократно уточнялось с развитием теории связанных резонаторов и фильтров. Более поздние определения коэффициента обобщают или уточняют предшествующие определения.
Коэффициент связи, рассматриваемый как положительная константа
Из ранних определений коэффициента связи резонаторов широко известны определения, содержащиеся в монографии Г. Маттея и др [2]. Следует сразу оговориться, что эти определения являются приближенными, так как они сформулированы в предположении, что связь между резонаторами достаточно мала. В монографии [2] коэффициент связи <math>k</math> для случая двух одинаковых резонаторов определяется формулой
<math>k=|f_o-f_e|/f_0,</math> (1)
где <math>f_e,</math> <math>f_o</math> — частоты четных и нечетных связанных колебаний ненагруженной пары резонаторов, а <math>f_0=\sqrt{f_of_e}.</math> Видно, что коэффициент связи, выражаемый формулой (1), является положительной константой, характеризующей взаимодействие резонаторов на резонансной частоте <math>f_0.</math>
В случае, когда паре связанных резонаторов с одинаковыми резонансными частотами можно сопоставить соответствующую эквивалентную схему с инвертором сопротивления (проводимости), нагруженным с обеих сторон на резонансные двухполюсники, коэффициент связи <math>k</math> определяется формулой
<math>k=K_{12}/\sqrt{x_1x_2}</math> (2)
для резонаторов последовательного типа и формулой
<math>k=J_{12}/\sqrt{b_1b_2}</math> (3)
для резонаторов параллельного типа. Здесь <math>K_{12},</math> <math>J_{12}</math> — параметры инвертора сопротивления и инвертора проводимости, <math>x_1,</math> <math>x_2</math> — параметры крутизны реактивного сопротивления первого и второго резонатора последовательного типа на резонансной частоте <math>f_0,</math> а <math>b_1,</math> <math>b_2</math> — параметры крутизны реактивной проводимости первого и второго резонатора параллельного типа.
Когда резонаторами являются колебательные LC-контуры, коэффициент связи, согласно формулам (2) и (3), принимает значение
<math>k_L=L_m/\sqrt{L_1L_2}</math> (4)
для резонаторов с индуктивной связью и значение
<math>k_C=C_m/\sqrt{(C_1+C_m)(C_2+C_m)}</math> (5)
для резонаторов с ёмкостной связью. Здесь <math>L_1,</math> <math>C_1</math> — индуктивность и ёмкость первого контура, <math>L_2,</math> <math>C_2</math> — индуктивность и ёмкость второго контура, а <math>L_m,</math> <math>C_m</math> — межконтурная (взаимная) индуктивность и межконтурная ёмкость. Формулы (4) и (5) давно известны в теории электрических цепей. Они выражают значения коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи колебательных контуров.
Коэффициент связи, рассматриваемый как имеющая знак константа
Уточнение приближенной формулы (1) было сделано в [3]. Точная формула имеет вид
<math>k=(f_o^2-f_e^2)/(f_o^2+f_e^2).</math> (6)
При выводе этого выражения использовались формулы (4) и (5). Формула (6) стала общепризнанной. Она в частности приведена в часто цитируемой монографии Дж-Ш. Хонга [4]. Видно, что коэффициент связи резонаторов <math>k</math> имеет отрицательное значение, если <math>f_o<f_e.</math>
Согласно определению (6), коэффициент индуктивной связи колебательных контуров <math>k_L</math> по-прежнему выражается формулой (4). Он имеет положительное значение при <math>L_m>0</math> и отрицательное значение при <math>L_m<0.</math>
Коэффициент же ёмкостной связи колебательных контуров <math>k_C</math> всегда отрицателен. Согласно (6), формула (5) для коэффициента ёмкостной связи колебательных контуров приобретает иной вид
<math>k_C=-C_m/\sqrt{(C_1+C_m)(C_2+C_m)}.</math> (7)
Связь между электромагнитными резонаторами может осуществляться как по магнитному, так и по электрическому полю. Связь по магнитному полю характеризуют коэффициентом индуктивной связи <math>k_L,</math> а связь по электрическому полю — коэффициентом ёмкостной связи <math>k_C.</math> Абсолютные величины <math>k_L</math> и <math>k_C</math> обычно монотонно убывают с увеличением расстояния между резонаторами. Скорость убывания одного из них может отличаться от скорости убывания другого. Однако абсолютная величина суммы коэффициентов <math>k_L</math> и <math>k_C</math> может не только убывать, но и возрастать на некотором участке с увеличением расстояния [5].
Сложение коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи резонаторов выполняется по формуле [3]
<math>k=(k_L+k_C)/(1+k_Lk_C).</math> (8)
Эта формула получается из определения (6) с учётом формул (4) и (7).
Следует заметить, что сам по себе знак коэффициента связи <math>k</math> значения не имеет. Свойства резонаторного фильтра не изменятся, если одновременно поменять в нём знаки всех коэффициентов связи. Однако он важен при сопоставлении двух коэффициентов связи и в частности при сложении коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи.
Коэффициент связи, рассматриваемый как функция частоты вынужденных колебаний
Два связанных резонатора могут взаимодействовать не только на резонансных частотах. Это подтверждается возможностью передачи энергии вынужденных колебаний от одного резонатора к другому. Поэтому взаимодействие резонаторов правильнее характеризовать не множеством констант <math>k_i,</math> отвечающих дискретному спектру резонансных частот <math>f_i,</math> а одной непрерывной функцией частоты вынужденных колебаний <math>k(f).</math>
Очевидно, что эта функция должна отвечать условию
<math>k(f)|_{f=f_i}=k_i.</math> (9)
Кроме того, функция <math>k(f)</math> должна обращаться в нуль на тех частотах <math>f_z,</math> на которых отсутствует передача высокочастотной мощности от одного резонатора к другому, то есть должна отвечать и второму условию
<math>k(f)|_{f=f_z}=0.</math> (10)
Нуль передачи мощности в частности возникает в колебательных контурах с комбинированной индуктивно-ёмкостной связью, когда взаимная индуктивность <math>L_m>0.</math> Его частота <math>f_z</math> выражается формулой [6]
<math>f_z=\sqrt{L_m/[(L_1L_2-L_m^2)C_m]}/(2\pi).</math> (11)
На основе энергетического подхода в [6] было сформулировано определение функции <math>k(f),</math> обобщающей формулу (6) и удовлетворяющей условиям (9) и (10). Эта функция по формуле (8) выражается через частотно-зависимые коэффициенты индуктивной и ёмкостной связи <math>k_L(f)</math> и <math>k_C(f),</math> определяемые формулами
<math>k_L(f)=\frac{\dot W_{12L}(f)} {\sqrt{ [\bar{W}_{11L}(f)+\bar{W}_{11C}(f)][\bar{W}_{22L}(f)+\bar{W}_{22C}(f)] } },</math> (12)
<math>k_C(f)=\frac{\dot W_{12C}(f)} {\sqrt{ [\bar{W}_{11L}(f)+\bar{W}_{11C}(f)][\bar{W}_{22L}(f)+\bar{W}_{22C}(f)] } }. </math> (13)
Здесь <math>W</math> обозначает энергию высокочастотного электромагнитного поля, запасаемую обоими резонаторами. Черта над <math>W</math> обозначает постоянную составляющую энергии, а точка — амплитуду колеблющейся составляющей энергии. Индекс <math>L</math> обозначает магнитную часть энергии, а индекс <math>C</math> — электрическую часть энергии. Индексы 11, 12 и 22 обозначают части запасаемой энергии, пропорциональные соответственно <math>|U_1|^2,</math> <math>|U_1||U_2|</math> и <math>|U_2|^2,</math> где <math>U_1</math> — комплексная амплитуда напряжения на порте первого резонатора, а <math>U_2</math> — комплексная амплитуда напряжения на порте второго резонатора.
Из определений (12) и (13) в частности получаются формулы для частотной зависимости коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи произвольных колебательных контуров [6]
<math>k_L(f)=\frac{ L_m} {\sqrt{L_1L_2}} \frac{2} {\sqrt{(1+f_1^{-2}f^2) (1+f_2^{-2}f^2) }},</math> (14)
<math>k_C(f)=\frac{-C_m} {\sqrt{(C_1+C_m)(C_2+C_m)}} \frac{2} {\sqrt{(1+f_1^2 f^{-2}) (1+f_2^2 f^{-2}) }}.</math> (15)
где <math>f_1, f_2</math> — резонансные частоты первого и второго контура, возмущенные связями. Видно, что значения функций <math>k_L(f)</math> и <math>k_C(f)</math> при <math>f=f_1=f_2</math> совпадают с константами <math>k_L</math> и <math>k_C,</math> определяемыми формулами (4) и (5). Кроме того, функция <math>k(f),</math> рассчитываемая по формулам (8), (14) и (15), обращается в нуль на частоте <math>f_z,</math> выражаемой формулой (11).
Коэффициенты связи в теории фильтров
Полосно-пропускающие фильтры с линейной топологией связей
Теория микроволновых узкополосных полосно-пропускающих фильтров с чебышёвской частотной характеристикой изложена в монографии [2]. В таких фильтрах резонансные частоты всех резонаторов настроены на центральную частоту заданной полосы пропускания <math>f_0.</math> Каждый из резонаторов связан не более чем с двумя соседними резонаторами. Каждый из двух крайних резонаторов связан с одним соседним резонатором и с одним из двух портов фильтра. Такую топологию связей резонаторов называют линейной. При линейной топологии связей существует только один канал прохождения микроволновой мощности от входного порта к выходному порту.
Для фильтров с линейной топологии связей в монографии [2] приведен вывод приближенных формул для значений коэффициентов связи соседних резонаторов <math>k_{i,i+1},</math> отвечающих заданной амплитудно-частотной характеристике фильтра, где <math>i</math> и <math>i+1</math> — порядковые номера связанных резонаторов. При выводе формул использовались фильтры-прототипы нижних частот, а также формулы (2) и (3). Амплитудно-частотные характеристики фильтров-прототипов описываются многочленами Чебышёва. Впервые эти формулы были опубликованы в [7]. Они имеют вид
<math>k_{i,i+1}=\frac{f_2-f_1} {\sqrt{f_2f_1g_ig_{i+1}}},</math> (16)
где <math>g_i</math> <math>(i=0,1,2...n+1)</math> — нормированные параметры фильтра-прототипа нижних частот, <math>n</math> — порядок многочлена Чебышёва, равный числу резонаторов в фильтре, <math>f_1, f_2</math> — граничные частоты полосы пропускания.
Значения нормированных параметров <math>g_i</math> для заданной полосы пропускания фильтра рассчитываются по формулам
<math>g_0=1,</math> <math>g_1=2a_1/\gamma,</math>
<math>g_k=\frac{4a_{k-1}a_k} {b_{k-1}g_{k-1}},</math> <math>k=2,3\dots n,</math> (17)
<math> g_{n+1}=1,</math> если <math>n</math> четное,
<math> g_{n+1}=\mathrm{cth}\,^2(\beta /4),</math> если <math>n</math> нечетное.
Здесь использованы обозначения
<math>\beta=2 \mathrm{arth}\, \sqrt{10^{-\Delta L/10}}, </math> <math>\gamma= \mathrm{sh}\, (\frac{\beta}{2n}),</math> (18)
<math>a_k= \mathrm{sin}\, \frac{2(k-1) \pi} {2n},</math> <math>b_k=\gamma ^2+ \mathrm{sin}\, ^2 (k \pi /n),</math> <math>(k=1,2...n),</math>
где <math>\Delta L</math> — требуемая неравномерность затухания в полосе пропускания, выраженная в децибелах.
Формулы (16) являются приближенными не только потому, что при их выводе использовались приближенные определения коэффициентов (2) и (3). Точные выражения для коэффициентов связи в фильтре-прототипе были получены в [8]. Однако и после уточнения эти формулы остаются приближенными при конструировании реальных фильтров. Их точность зависит от конструкции фильтра и конструкции его резонаторов. Она повышается с уменьшением относительной ширины полосы пропускания.
В [9] было показано, что причина погрешности формул (16) и их уточненного варианта связана с частотной дисперсией коэффициентов связи, которая может сильно различаться для резонаторов и фильтров различных конструкций. Другими словами, оптимальные значения коэффициентов связи <math>k_{i,i+1}</math> на частоте <math>f_0</math> зависят не только от параметров требуемой полосы пропускания фильтра, но и значений производных <math>dk_{i,i+1}(f)/df|_{f=f_0}.</math> Это значит, что точные значения коэффициентов <math>k_{i,i+1},</math> обеспечивающих требуемую полосы пропускания фильтра, не могут быть заранее известны. Их можно установить лишь после оптимизации фильтра. Поэтому формулы (16) можно использовать только в качестве начальных значений для обобщенных параметров фильтров перед их оптимизацией.
Приближенные формулы (16) также позволяют установить ряд общих закономерностей, присущих любым фильтрам с линейной топологией связей. Например, увеличение текущей ширины полосы пропускания фильтра требует приблизительно пропорционального увеличения всех коэффициентов связи <math>k_{i,i+1}.</math> Коэффициенты <math>k_{i,i+1}</math> симметричны относительно центрального резонатора или центральной пары резонаторов даже в фильтрах с неравными волновыми сопротивлениями линий передачи на входном и выходном порте. Величина коэффициентов <math>k_{i,i+1}</math> монотонно убывает при переходе от крайних пар резонаторов к центральной паре.
Реальные конструкции фильтров с линейной топологией связи в отличие от их фильтров-прототипов могут иметь нули прохождения в полосах заграждения [10]. Нули прохождения существенно улучшают селективные свойства фильтров. Одной из причин возникновения нулей является частотная дисперсия коэффициентов связи <math>k_{i,i+1}</math> для одной или нескольких пар резонаторов фильтра, выражающаяся в их обращении в нуль на частоте нуля прохождения мощности [11].
Полосно-пропускающие фильтры с перекрестными связями
Для формирования нулей прохождения в полосах заграждения фильтров с целью повышения их селективных свойств, в фильтрах помимо ближайших связей часто создают дополнительные связи между резонаторами, которые называют перекрестными. Такие связи приводят к образованию нескольких каналов прохождения электромагнитной волны от входного порта фильтра к выходному порту. Амплитуды волн, прошедшие по разным каналам фильтра, при суммировании на выходе могут полностью погашаться на отдельных частотах, приводя к образованию нулей прохождения.
Для описания связей резонаторов в таких фильтрах используют матрицу связей <math>\mathbf M</math> размерности <math>n \times n</math> [12, 4]. Она симметрична. Её каждый недиагональный элемент <math>M_{ij}</math> является коэффициентом связи i-го и j-го резонаторов <math>k_{ij}.</math> Каждый диагональный элемент <math>M_{ii}</math> является реактансом (иммитансом) i-го резонатора на центральной частоте <math>f_0</math>. В настроенном фильтре все элементы <math>M_{ii}</math> равны нулю, так реактансы на резонансных частотах обращаются в нуль.
Достоинством матриц <math>\mathbf M</math> является то, что они позволяют непосредственно рассчитать частотную характеристику для эквивалентной схемы фильтра, содержащей индуктивно связанные колебательные контуры [12, 4]. Поэтому их удобно использовать при проектировании фильтров с перекрестными связями. В частности матрицы <math>\mathbf M</math> часто используют при оптимизации фильтров в качестве их грубой модели. Использование грубой модели позволяет многократно ускорить оптимизацию фильтра за счет того, расчет частотной характеристики грубой модели практически не требует затрат машинного времени по сравнению с расчетом характеристики реального фильтра.
Примечания
Литература
- Dishal. M. Design of dissipative band-pass filters producing desired exact amplitude-frequency characteristics // Proc. IRE. — Sept. 1949. — Vol. 37. — № 9. — P. 1050—1069.
- Маттей Г. Л., Янг Л., Джонс Е. М. Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т. 1. — М.: Связь, 1971. — 439 с.
- Тюрнев В. В., Беляев Б. А. Взаимодействие параллельных микрополосковых резонаторов // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. — 1990. Вып. 4(428). — С. 25-30.
- Hong J-S. Microstrip filters for RF/microwave applications. — Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2011. — 635 p.
- Беляев Б. А., Титов М. М., Тюрнев В. В. Коэффициент связи нерегулярных микрополосковых резонаторов // Известия вузов. Радиофизика. — 2000. — Т. 43. — № 8. — С. 722—727.
- Тюрнев В. В. Коэффициент связи асимметричной пары СВЧ резонаторов // Радиотехника и электроника. — 2002. — Т. 47. — № 1. — С. 5-13.
- Cohn S.B. Direct-coupled-resonator filter // Proc. IRE. — 1957. — V. 45. — № 2. — P. 187—196.
- Тюрнев В. В. Прямой вывод и уточнение обобщенных формул Кона-Маттея для коэффициентов связи резонаторов в фильтре сверхвысоких частот // Радиотехника и электроника. — 2008. — Т. 53. — № 5. — С. 584—587.
- Тюрнев В. В. Влияние частотной дисперсии коэффициентов связи резонаторов на погрешность формул прямого синтеза фильтров сверхвысоких частот // Радиотехника и электроника. — 2009. — Т. 54. — № 3. — С. 314—317.
- Беляев Б. А., Лексиков А. А., Тюрнев В. В. Частотно-селективные свойства многозвенных фильтров на регулярных микрополосковых резонаторах // Радиотехника и электроника. — 2004. — Т. 49. — № 11. — С. 1315—1324.
- Беляев Б. А., Тюрнев В. В. Частотно-зависимые коэффициенты связи микрополосковых резонаторов // Электронная техника. Сер. СВЧ-техника. — 1992. — Вып. 4(448). — С. 23-27.
- Cameron R.J., Kudsia C.M., Mansour R.R. Microwave filters for communication systems: fundamentals, design, and applications. — Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2007. — 771 p.
Ссылки
