Русская Википедия:Кратномасштабный анализ
Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов вейвлетов. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.
Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.
Определение
При выполнении КМА пространство сигналов <math>L^2(\mathbb{R})</math> представляется в виде системы вложенных подпространств <math>V_j\subset L^2(\mathbb{R}), j\in\mathbb Z,</math>, отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной. Таким образом, кратномасштабным анализом (КМА) в <math>L^2(\mathbb{R})</math> называется совокупность замкнутых пространств <math>V_j(\mathbb{R}), j\in\mathbb Z,</math> если выполнены некоторые условия.
- (1) Условие вложенности:
- <math> V_j\subset V_{j+1} </math> для всех <math>j\in\mathbb Z</math>. Все пространство сигналов <math>L^2(\mathbb{R})</math> в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней <math>m</math> декомпозиции сигнала;
- (2) Условие полноты и плотности разбиения:
- <math>\bigcup\limits_{j\in\mathbb Z}V_j</math> плотно в <math>L^2(\mathbb{R});</math>
- (3) Условие ортогональности подпространств:
- <math>\bigcap\limits_{j\in\mathbb Z}V_j={0};</math>
- (4) Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:
- <math>f(t)\in V_j \Leftrightarrow f(t+1)\in V_j;</math>
- (5) Масштабное преобразование любой функции <math>f(t)\in V_j</math> по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:
- <math>f(t)\in V_j \Leftrightarrow f(2t)\in V_{j+1};</math>
- <math>f(t)\in V_j \Leftrightarrow f(t/2)\in V_{j-1};</math>
- (6) Существует <math>r(t)\in V_0</math>, целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства <math>V_0</math>:
- <math>f_{0,k}(t) = f(t-k), k\in\mathbb Z .</math> Функция <math>r(t)</math> называется скейлинг-функцией (scaling function).
Свойства
Обозначим сдвиги и растяжения функции <math>f:</math> <math>f_{k,n}(x)=2^{k/2} f(2^kx+n), k,n\in\mathbb Z.</math>
- Для любого <math>j\in\mathbb Z</math> функции <math>\varphi_{j,n}, n\in\mathbb Z </math> образуют ортонормированный базис в <math>V_j.</math>
- Если <math>f\in V_j,</math> то <math>f(\cdot\pm 2^{-j})\in V_j, j\in\mathbb Z</math>.
- Функция <math>\varphi</math> из условия (5) называется масштабирующей для данного КМА.
Построение ортогональных базисов всплесков
Пусть <math>\{V_j\}_{j\in\mathbb Z}</math> образуют КМА. Обозначим через <math>W_j</math> ортогональное дополнение к <math>V_j</math> в пространстве <math>V_{j+1}.</math> Тогда пространство <math>V_{j+1}</math> раскладывается в прямую сумму <math>V_{j+1}=V_j\bigoplus W_j.</math> Таким образом, проводя последовательное разложение пространств <math>V_j</math> и учитывая условие (3), получим <math>V_{j+1}=\bigoplus\limits_{i=-\infty}^j W_i.</math> А используя условие (2), имеем: <math>L_2(\mathbb R)=\overline{\bigoplus\limits_{j=-\infty}^{\infty}W_j}.</math>
Таким образом, пространство <math>L_2(\mathbb R)</math> разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств <math>W_j.</math> Важным является то, что функция <math>\varphi</math> порождает другую функцию <math>\psi\in W_0,</math> целочисленные сдвиги которой являются ортонормированным базисом в <math>W_0.</math> Построение такой <math>\psi</math> может быть осуществлено при помощи следующей теоремы.
Многомерный КМА
В общем случае <math>n-</math>мерного пространства ортонормированный базис образует <math>2^n-1</math> функций, при помощи которых осуществляется КМА любой функции их <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math> пространства, при этом нормировочный множитель равен <math>2^{nm/2}</math>.
Примечания
- Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
- Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория Всплесков, (2005), Физматлит, Москва, ISBN 5-9221-0642-2
